積分第一中值定理及其推廣證明

1、2.1積分第一中值定理證明積分第一中值定理:如果函數(shù)()fx在閉區(qū)間[]ab上連續(xù)，()gx在()ab上不變號(hào)，并且()gx在閉區(qū)間[]ab上是可積的，則在[]ab上至少存在一點(diǎn)?，使得()()()()()bbaafxgxdxfgxdxab???????成立。證明如下：由于()gx在閉區(qū)間[]ab上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)()0gx?，并且記()fx在閉區(qū)間[]ab上的最大值和最小值為M和m，即()mfxM??，我們將不等式兩邊同乘以()g

2、x可以推出，此時(shí)對(duì)于任意的[]xab?都會(huì)有()()()()mgxfxgxMgx??成立。對(duì)上式在閉區(qū)間[]ab上進(jìn)行積分，可以得到()()()()bbbaaamgxdxfxgxdxMgxdx?????。此時(shí)在mM之間必存在數(shù)值?，使得mM???，即有()()()bbaafxgxdxgxdx????成立。由于()fx在區(qū)間[]ab上是連續(xù)的，則在[]ab上必定存在一點(diǎn)?，使()f???成立。此時(shí)即可得到()()()()bbaafxgxd

3、xfgxdx????，命題得證。2.2積分第一中值定理的推廣定理：（推廣的第一積分中值定理）若函數(shù)()fx是閉區(qū)間[]ab上為可積函數(shù)，()gx在[]ab上可積且不變號(hào)，那么在開區(qū)間()ab上至少存在一點(diǎn)?，使得()()()()()bbaafxgxdxfgxdxab??????成立。()()()babafxgxdxmMgxdx????，（2.2.2）我們記()()()babafxgxdxgxdx????，（2.2.3）此時(shí)我們又分兩種情

4、形繼續(xù)進(jìn)行討論：（Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等號(hào)不成立，即有()()()babafxgxdxmMgxdx????成立，則此時(shí)一定就存在mM???，可以使得12()()mfxfxM??????，我們不妨假設(shè)12xx?，這其中12[]xxab?。因?yàn)?)()Fxfx??，[]xab?，則會(huì)有1122()()()()FxfxfxFx???????。此時(shí)至少存在一點(diǎn)12()xx??，使得()()Ff??????，即有12()()()()()[

5、]bbaafxgxdxfgxdxxxab????????成立，從而結(jié)論成立。（Ⅱ）如果（2.2.2）式中僅有一個(gè)等號(hào)成立時(shí)，我們不妨假設(shè)M??，因?yàn)?)0bagxdx??，此時(shí)一定存在區(qū)間11[]()abab?（其中11ab?），使得11[]xab??，恒有()0gx?成立，我們可以將（2.2.3）式進(jìn)行簡化()()()bbaagxdxfxgxdx?????，因?yàn)镸??，則有[()]()0baMfxgxdx???（2.2.4）而且我們已