冪函數(shù)經(jīng)典例題答案

1、冪函數(shù)的概念 例 1、下列結(jié)論中，正確的是( ) A．冪函數(shù)的圖象都通過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1) B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限 C．當(dāng)冪指數(shù) α 取 1,3，12時(shí)，冪函數(shù) y＝xα 是增函數(shù) D．當(dāng)冪指數(shù) α＝－1 時(shí)，冪函數(shù) y＝xα 在定義域上是減函數(shù) 解析 當(dāng)冪指數(shù) α＝－1 時(shí)，冪函數(shù) y＝x－1 的圖象不通過(guò)原點(diǎn)，故選項(xiàng) A 不正確；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且 y＝xα (α∈R)，y&g

2、t;0， 所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故選項(xiàng) B 不正確；而當(dāng) α＝－1 時(shí)， y＝x－1 在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)，但它在定義域上不是減函數(shù)． 答案 C 例 2、已知冪函數(shù) f(x)＝(t3－t＋1)x15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) t 的值． 分析 關(guān)于冪函數(shù) y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性問題，設(shè)pq (|p|、|q|互質(zhì))，當(dāng) q 為偶數(shù)時(shí)，p 必

3、為奇數(shù)，y＝xpq是非奇非偶函數(shù)；當(dāng) q 是奇數(shù)時(shí)，y＝xpq的奇偶性與 p 的值相對(duì)應(yīng)． 解 ∵f(x)是冪函數(shù)，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1 或 0. 當(dāng) t＝0 時(shí)，f(x)＝x75是奇函數(shù)； 當(dāng) t＝－1 時(shí)，f(x)＝x25是偶函數(shù)； 當(dāng) t＝1 時(shí)，f(x)＝x85是偶函數(shù)，且25和85都大于 0， 在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 故 t＝1 且 f(x)＝x85或 t＝－1 且 f(x)＝x25. 點(diǎn)評(píng) 如果題中有參數(shù)

4、出現(xiàn)， 一定要注意對(duì)參數(shù)的分類討論， 尤其對(duì)題中的條件t∈Z 給予足夠的重視． 例 3、如圖是冪函數(shù) y＝xm 與 y＝xn 在第一象限內(nèi)的圖象，則( ) 變式 變式 已知 y＝(m2＋2m－2)x 1m2－1＋2n－3 是冪函數(shù)，求 m，n 的值． 解 由題意得? ? ?m2＋2m－2＝1m2－1≠02n－3＝0， 解得? ? ? ? ?m＝－3n＝32， 所以 m＝－3，n＝32. 例 6、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。?（1） 5

5、35 . 1 ， 537 . 1 ； （2）0.71.5，0.61.5； （3） 32) 2 . 1 (－ － ， 32) 25 . 1 (－ － ． 解析： 解析： （1）考查冪函數(shù) y＝ 53x 的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增， ∵1.5＜1.7，∴ 535 . 1 ＜ 537 . 1 ， （2）考查冪函數(shù) y＝ 23x 的單調(diào)性，同理 0.71.5＞0.61.5． （3）先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪可知它是偶函數(shù)， ∵ 32) 2

6、 . 1 (－ － ＝ 322 . 1－ ， 32) 25 . 1 (－ － ＝ 3225 . 1－ ， 又 322 . 1－ ＞ 3225 . 1－ ，∴ 32) 2 . 1 (－ －＞ 3225 . 1－ ． 點(diǎn)評(píng)： 點(diǎn)評(píng)：比較冪形式的兩個(gè)數(shù)的大小，一般的思路是： （1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性； （2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性； （3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來(lái)比較大

7、?。?例 7、比較下列各組數(shù)的大小 (1) 3－52與 3.1－52；(2)－8－78與－? ? ?? ? ? 1 97 8. 分析 比較大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性， 當(dāng)不便利用單調(diào)性時(shí)， 可用0 與 1 去比較，這種方法叫“搭橋”法． 解 (1)函數(shù) y＝x－52在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 又 33.1－52. (2)－8－78＝－? ? ?? ? ? 1 87 8，函數(shù) y＝x78在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又18>19，則