高中數(shù)學(xué)-公式-柯西不等式

1、第一課時(shí)第一課時(shí)3.1二維形式的柯西不等式（一）2.練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證22222()()()abcdacbd????①提出定理1：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則.22222()()()abcdacbd????證法一：（比較法）=….=22222()()()abcdacbd????2()0adbc??證法二：（綜合法）222222222222()()abcdacadbcbd??????.（要點(diǎn)：展開→配方）222()()()

2、acbdadbcacbd??????證法三：（向量法）設(shè)向量，，則，.()mab???()ncd??22||mab????22||ncd???∵，且，則.∴…..mnacbd??????||||cosmnmnmn????????????AAA||||||mnmn???????AA證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則22222()()2()fxabxacbdxcd??????≥0恒成立.22()()()fxaxcbxd????∴≤0，即…..2222

3、2[2()]4()()acbdabcd???????③二維形式的柯西不等式的一些變式：或或.2222||abcdacbd????A2222||||abcdacbd????A2222abcdacbd????A④提出定理2：設(shè)是兩個(gè)向量，則.??????||||||?????????????A即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→討論：上面時(shí)候等號(hào)成立？（是零向量，或者共線）?????????⑤練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證.222

4、222()()abcdacbd???????證法：（分析法）平方→應(yīng)用柯西不等式→討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2.教學(xué)三角不等式：教學(xué)三角不等式：①出示定理3：設(shè)，則.1122xyxyR?22222211221212()()xyxyxxyy???????分析其幾何意義→如何利用柯西不等式證明→變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？112233xyxyxyR?3.小結(jié)：小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等

5、式的兩種形式（兩點(diǎn)、三點(diǎn)）第二課時(shí)第二課時(shí)3.1二維形式的柯西不等式（二）教學(xué)過程教學(xué)過程：；22222()()()abcdacbd????22222211221212()()xyxyxxyy???????3.如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值12yxx????要點(diǎn)：利用變式.2222||acbdabcd????A二、講授新課：二、講授新課：1.教學(xué)最大（?。┲担航虒W(xué)最大（?。┲担孩俪鍪纠?：求函數(shù)的最大值？31102yxx????分

6、析：如何變形？→構(gòu)造柯西不等式的形式→板演→變式：→推廣：31102yxx????()yabxcdefxabcdefR??????②練習(xí)：已知，求的最小值.321xy??22xy?解答要點(diǎn)：（湊配法）.2222222111()(32)(32)131313xyxyxy???????2.教學(xué)不等式的證明：教學(xué)不等式的證明：①出示例2：若，，求證：.xyR??2xy??112xy??分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對(duì)比→構(gòu)造）要點(diǎn)：…2

7、22211111111()()[()()][()()]22xyxyxyxyxy????????(反序和)121nnabab???1nab當(dāng)且僅當(dāng)=或=時(shí)，反序和等于同序和.12aa??na12bb??nb（要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式）2.教學(xué)排序不等式的應(yīng)用：教學(xué)排序不等式的應(yīng)用：①出示例1：設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證：12naaa???.32122211112323naaaann???????????????分析：如何構(gòu)造有序排

8、列？如何運(yùn)用套用排序不等式？證明過程：設(shè)是的一個(gè)排列，且，則.12nbbb???12naaa???12nbbb??????1212nbbbn??????又，由排序不等式，得222111123n???????…3322112222222323nnaabbababnn????????????????小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.②練習(xí)：已知為正數(shù)，求證：.abc3332222()()()()abcabcbaccab????????解答要點(diǎn)：