高中數(shù)學(xué)-柯西不等式與排序不等式

1、3.13.2柯西不等式1.二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.(00)2ababab????2.已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證22222()()()abcdacbd????證法：（比較法）=….=22222()()()abcdacbd????2()0adbc??定理：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則.22222()()()abcdacbd????變式：或2222||abcdacbd????A2222||||abcdacbd????A

2、或.2222abcdacbd????A定理：設(shè)，則1212nnaaabbbR???222222212121122()()()nnnnaaabbbababab???????????（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，假設(shè)）1212nnaaabbb????0ib?變式：.222212121()nnaaaaaan??????????定理：設(shè)是兩個(gè)向量，則.??????||||||?????????????A等號(hào)成立？（是零向量，或者共線）?????????練

3、習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證.222222()()abcdacbd???????證法：（分析法）平方→應(yīng)用柯西不等式→討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）三角不等式：三角不等式：①定理：設(shè)，則.1122xyxyR?22222211221212()()xyxyxxyy???????變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？112233xyxyxyR?例1：求函數(shù)的最大值？31102yxx????分析：如何變形？→構(gòu)造柯西不等

4、式的形式變式：→推廣：31102yxx????()yabxcdefxabcdefR??????例2：若，求證：.abccacbba?????411要點(diǎn)：21111()()[()()]()(11)4acabbcabbcabbc??????????????例3已知正數(shù)abc滿足1abc???證明2223333abcabc?????證明：利用柯西不等式??23131312222222222abcaabbcc?????????????22233

5、3222abcabc???????????????????????????????????2333abcabc???????1abc????又因?yàn)?22abcabbcca?????在此不等式兩邊同乘以2，再加上222abc??得：????2223abcabc???????????22223332223abcabcabc?????????故2223333abcabc?????例4設(shè)p是ABCA內(nèi)的一點(diǎn)，xyz是p到三邊abc的距離，R是A