03-平面向量

1、1平面向量講義平面向量講義知識框架：知識框架：?概念（向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量、反向量）?運算（加減、點乘）?定理（平面向量基本定理、向量共線基本定理、三點共線定理）?坐標運算?集合中的應用（三角形的五心）一、向量有關概念向量有關概念1.向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向不能說向量就是有向線段量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。例1.已知A（12

2、），B（42），則把向量按向量＝（－13）平移后得到的向量是_____AB????a?2.零向量零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的（與任意向量相平行）零向量的方向是任意的（與任意向量相平行）；03.單位向量單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；AB????||ABAB?????????4.相等向量相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5.平行向量

3、（也叫共線向量）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向規(guī)定零向abab量和任何向量平行量和任何向量平行。提醒提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；0?④三點共線共線；ABC、、?ABAC????????、6.相反向量：相

4、反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。aa例2.下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，ab???ab???ABDC?????????3（3）已知，則等于____253abab????????Aab???（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____ab??abab???????與aab????3.在上的投影上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。ba||cos

5、b??例5.已知，，且，則向量在向量上的投影為______3||??a5||??b12????ba?a?b4.的幾何意義的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。a?ba?ba||a?ba5.向量數(shù)量積的性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)：設兩個非零向量，，其夾角為，則：ab?①；0abab????????②當，同向時，＝，特別地，；aba?bab??222aaaaaa??????????當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的為銳

6、角的aba?bab???a?bab??、0ab?????必要非充分條件必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件為鈍角的必要非充分條件；?a?bab??、0ab?????③非零向量，夾角的計算公式：；④。ab?cosabab???????||||||abab??????例6.例題：（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______)2(????a)23(???b?a?b?（2）已知的面積為，且，若，則

7、夾角的取值范圍是OFQ?S1????????FQOF2321??S??????FQOF?_________（3）已知與之間有關系式，①用表(cossin)(cossin)axxbyy????a?b?30kabakbk????????且且k示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大小ab???ab???a?b??六、六、向量的運算：向量的運算：1.幾何運算幾何運算：?向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向

8、量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即ABaBCb????????????AC????a?b?；abABBCAC???????????????????向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向ABaACbabABACCA??????????????????????????????那么被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。例7.例題：（1）化簡：①___；②____；③_____

9、ABBCCD???????????????ABADDC???????????????()()ABCDACBD????????????????????（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____ABCDABaBCbACc??????????????????||abc?????（3）若O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為____ABCA2OBOCOBOCOA????????????????????????ABCA（4）若為的邊的中點，所在平