《線性方程組》ppt課件

1、第三章 線性方程組,學(xué)時(shí)：18學(xué)時(shí)。教學(xué)手段：課堂講授與學(xué)生自學(xué)討論相結(jié)合，課堂練習(xí)和課后演練習(xí)題相結(jié)合，教師輔導(dǎo)答疑?；緝?nèi)容和教學(xué)目的：基本內(nèi)容：本章的基本內(nèi)容是線性方程組理論，向量空間的基本理論以及幾何空間平面和直線的簡(jiǎn)單性質(zhì)。教學(xué)目的：1．使學(xué)生準(zhǔn)確理解線性方程組的全部理論和向量空間的線性相關(guān)性理論，2．熟練地掌握線性方程組的解法，線性方程組有解的充分必要條件及其線性方程組解的結(jié)構(gòu)。本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)：用消元法解

2、線性方程組，線性方程組解狀況的判定定理及結(jié)構(gòu)定理，向量組的線性相關(guān)性理論，線性空間的基礎(chǔ)理論。,§3.1 消 元 法,對(duì)一般線性方程組,,—（1）,當(dāng)m=n，且系數(shù)行列式,,時(shí)，我們知方程組（1）有唯一解，,其解由Gramer法則給出。但是若此時(shí)D=0，我們無(wú)法知道此時(shí)方程組是有解，還是無(wú)解。同時(shí)，當(dāng),時(shí)，我們也沒(méi)有解,此方程組（1）的有效方法。因此我們有必要對(duì)一般線性方程,組（1）進(jìn)行研究。 在

3、中學(xué)代數(shù)中，我們?cè)眉訙p消元法和代入消元法來(lái)解二元、三元線性方程組。實(shí)際上用加減消元法比用行列式解方程組更具有普遍性。下面考慮解線性方程組：,解方程組： 把未知量系數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤?,→,,把第1個(gè)方程分別乘以（-2）、（-1）加到第2個(gè)、3個(gè)方程,把第1行分別乘以（-2）、（-1）加到第2、3行,,→,,把第3個(gè)方程分別乘以（-4）、1加到第2個(gè)、1個(gè)方程,把第3行分別乘以（-4）、1加到第2

4、、1行,,→,,把第2個(gè)方程與第3個(gè)方程互換位置,把第2行與第3行互換位置,,,→,分別把第1個(gè)方程和第3個(gè)方程乘以,,和,,分別用,和,乘第1行和第3行,,→,,把第3個(gè)方程分別乘以（-1）、1加到第1、2個(gè)方程,分別把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行,→,,在用消元法解線性方程組時(shí)我們實(shí)際上是對(duì)方程組進(jìn)行如下三種變換：,用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊加到另一方程上；用一個(gè)非零數(shù)乘一個(gè)方程的兩邊；互換兩個(gè)方程的位置。,這三

5、種變換總稱為線性方程組的初等變換。,如果把方程組寫(xiě)成 “數(shù)表” （矩陣）的形式,則解方程組就相當(dāng)于對(duì)“數(shù)表” （矩陣）進(jìn)行以下三種變換：,用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行加到另一行上； 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行；,互換兩行的位置。,這三種變換被稱為矩陣的初等行變換。,從上面可以看出，解線性方程組的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成對(duì)由方程組的未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所排成的一個(gè)“數(shù)表”進(jìn)行相應(yīng)的“變換”，從而得到方程組的解。這個(gè)數(shù)表就稱為矩陣。拋開(kāi)具體的背景，下面引進(jìn)

6、矩陣的定義和它的初等變換。,定義1（矩陣）：數(shù)域,,上,,個(gè)元素排成形如下數(shù)表,,,,,稱為矩陣的,,若,,，則,,稱為矩陣A的,行列式，記為,,注意行列式與矩陣在形式上與本質(zhì)上的區(qū)別。,定義2（矩陣的初等變換）：以下三種變換稱為矩陣的初等變換：,用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法變換） 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換） 交換矩陣中某兩行（列）的位置。（換法變換）,為了利用矩陣的行初等變

7、換解線性方程組，我們要解決以下問(wèn)題：一個(gè)線性方程組經(jīng)初等變換后所得線性方程組是否與原方程組同解。,證明：對(duì)第（1）種初等變換證明之。,由方程組未知量系數(shù)按原來(lái)的順序組成的矩陣，稱為方程組的系數(shù)矩陣，記為A。由方程組未知量系數(shù)和常數(shù)組成的矩陣稱為方程組的增廣矩陣，記為,,對(duì)方程組進(jìn)行初等變換，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)方程組中未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣,（稱為增廣矩陣）進(jìn)行相應(yīng)的初等變換，,因此由定理3.1.1，我們有,定理3.1.2 : 對(duì)線性方

8、程組（1）的增廣矩陣,進(jìn)行行初等,變換化為,,，則以,為增廣矩陣的線性方程組（2）與（1）同,解。,由前面的討論知，對(duì)一個(gè)線性方程組施行初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，那么我們要問(wèn)：一個(gè)矩陣在行初等變換下可以化為怎樣的簡(jiǎn)單形式？,定理3.1.3: 一個(gè),矩陣A，通過(guò)行初等變換及列換法,變換可化為一下階梯形,,,這里,,。更進(jìn)一步，通過(guò)行初等變換，可化為,,所謂階梯形矩陣是指：從它們的任一行看，從第一個(gè)元素起至該

9、行的第一個(gè)非零元素止，它們所在位置的下方元素全為零；若該行全為零，則它的下方元素也全為零。,證明：若A=0，則A已成階梯形，,若,,，則A至少有一個(gè)元素不為0，不妨設(shè),,，,（否則，設(shè),,，我們可經(jīng)行、列變換，使,,位于,左上角）。把第一行分別乘以,,加到,第i行，則A化為,,用,,乘第一行得：,,對(duì),,中的右下角矩陣,,類似考慮，若其為0，,則結(jié)論成立；若其不為0，不妨設(shè),,，用,,乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用,,乘第

10、二行得：,,如此作下去，直到A化為階梯形B為止。,,對(duì)B進(jìn)行一系列行的消法變換，則可以把B化為C。,,定理中的r是矩陣A的秩，是一個(gè)確定的數(shù)，其意義以后再研究。,,定理3.1.4 線性方程組（1）與以下形式的線性方程組同解,—（2）,其中,,是,,的一個(gè)排列。,只要證明線性方程組（1）的增廣矩陣,,經(jīng)一系列,行初等變換及列初等變換（但最后常數(shù)列不能交換）可化為矩陣：,,以,,為增廣矩陣的線性方程組就是（2）。,由定理3.1.3知，,,

11、中的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列行初等變換和列換法,變換可化為C，這相應(yīng)的一系列行初等變換和列換法變換就把C化為,,若,,中有一個(gè)不為零，不妨設(shè),,，否則可經(jīng)行變換,換到第r+1行，然后對(duì)r+2，…，n行進(jìn)行行消法變換，可使,,。于是,,就化為,,由定理3.1.4 可知：,1、當(dāng),,時(shí)，方程組無(wú)解；,2、當(dāng),,時(shí)，,①若r=n，則方程組有唯一組解；,②若r<n時(shí)，則方程組有無(wú)窮多解。,這時(shí)，把方程組（2）改寫(xiě)為：,,給,,一組值，就唯一定義

12、出,,的一組值從而得,方程組（1）的一個(gè)解。把,,通過(guò),,表示出來(lái)，,這樣得到的解稱為方程組（1）的一般解，,,稱為,方程組的一組自由未知量。需要證明的是，在實(shí)際解線性方程組時(shí)，一般不做增廣矩陣的列互換，特別嚴(yán)禁把常數(shù)列與其他列互換，以及對(duì)列進(jìn)行其他變換。,例3.1.2 解方程組,,解：,,,,,原方程組與方程組,同解。,故原方程的一般解是,,，,,是自由未知量。,例3.1.3 解方程組,,解,,,,故原方程組無(wú)解。,§3.2

13、 n維向量空間,一、向量空間的定義和例子,向量與向量空間對(duì)我們并不陌生，在解幾中，我們已經(jīng)討論過(guò)二維和三維向量空間中的向量。 在那里，兩個(gè)向量相加可以按平行四邊形法則相加，若向量用坐標(biāo)表示，則兩個(gè)向量相加轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加，數(shù)與向量相乘變?yōu)閿?shù)與向量的每個(gè)坐標(biāo)相乘，由此可抽象出一般向量的定義。,定義3.2.1：數(shù)域F上一個(gè)n維向量就是由F中n個(gè)數(shù)組成的,有序數(shù)組：,,其中,,稱為向量的第i個(gè)分量。,幾何上的向量是n維向量的

14、特殊情況，雖然n維向量當(dāng)n>4時(shí)沒(méi)有直觀的幾何意義，但仍然把它稱為向量。一方面它包含通常的向量作為其特例，另一方面它與通常的向量有許多共同的性質(zhì)。本課程常常用小寫(xiě)希臘字母α,β,γ,…表示向量。有了向量，一個(gè)方程,,就可以用一個(gè)n+1,元向量來(lái)表示：,,向量的相等：如果兩個(gè)n維向量,,的對(duì)應(yīng)分量都相等，即,,，則,稱這兩個(gè)向量相等，記為,,向量的和：向量,,稱為向量,,與,,的和，,記為 r=α+β。,零向量：分量全為零的n維向量

15、：,,稱為零向量。,負(fù)向量：向量,,稱為向量,,的負(fù)向,量，記為-α。,向量的數(shù)量乘積：設(shè),,，則稱向量,,為向量α與數(shù)k的數(shù)量乘積，,記為kα。,向量的減法：α-β=α+（-β）。,向量的加法滿足以下四條運(yùn)算規(guī)律：,1、交換律：α+β=β+α；,,,,,,向量的數(shù)乘滿足以下四條運(yùn)算規(guī)律：,1、分配律： ；,2、分配律：

16、 ；,,3、結(jié)合律： ；,,,4、有單位元 ： 。,,2、結(jié)合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；,3、有零元：α+ 0 =α， ；,,4、有負(fù)元：α+ = 0， 。,,,如果我們不考慮研究對(duì)象的具體性質(zhì)和內(nèi)容，只討論那些與運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)，則可以抽象出向量空間的公理化

17、定義。,定義3.2.2：F是一個(gè)數(shù)域，V是以F中的數(shù)為分量的n維向量組成的全體，考慮上面定義的向量加法和數(shù)量乘積。其加法和數(shù)乘分別滿足以上四條規(guī)律，稱V為F上的n維向量空間，記為 。,,由向量的加法和數(shù)乘可以推出以下性質(zhì):,1、 ；,,,2、 ；,3、 ；,,4、若 ，則

18、 。,,,,,向量可以寫(xiě)成：,，,,也可以寫(xiě)成：,前者稱為行向量，后者稱為列向量。,,列向量常寫(xiě)成：,§3.3 線性相關(guān)性,向量空間有兩種運(yùn)算：加法和數(shù)量乘法，合起來(lái)成為線性運(yùn)算。因此向量空間也可稱為線性空間。向量空間元素之間的最基本的關(guān)系就體現(xiàn)在運(yùn)算上即所謂線性關(guān)系上。因此討論向量之間的線性關(guān)系在研究向量空間時(shí)起著極為重要的作用。本節(jié)僅限于在,中進(jìn)行討論。,一、向量組的線性關(guān)系,在解幾中，向量空間

19、,,中的任一個(gè)向量α可由,,和,,中的一組數(shù),,表示出來(lái)，即有,,。在一,般n維向量空間是否有類似現(xiàn)象？在未研究之前，先考慮上述表達(dá)式的意義。,定義3.3.1：設(shè),,是,,中的向量，若存在F中,,，使,,則稱β是向量組,,的一個(gè)線性組合，或稱向量β可由,,線性表出。,例3.3.1 在,,中，,,,β可由,,的線性組合。,例3.3.2 在,,中，任一向量,,可由向量組,,線性表示，,,稱為n維單位向量。,這回答了本段開(kāi)頭提出的問(wèn)題，,,在

20、,它有那些重要作用？以及是否還有其他向量組能起它們的作用？下面將給予回答。,中有重要的作用。,注1：零向量是任一向量組的線性組合。,定義3.3.2：對(duì)于,中r個(gè)向量,,，若存在F中不全為,零的數(shù),,，使,,，則稱,線性相關(guān)，否則稱,線性無(wú)關(guān)，,（即不存在不全為零的數(shù),，使,,,）。,例3.3.3 判斷向量,是否線性相關(guān)（若,兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例，則這兩個(gè)必線性相關(guān)）。,注2：?jiǎn)蝹€(gè)零向量必線性相關(guān)，單個(gè)非零向量必線性無(wú)關(guān)。,注3：向量

21、組,,中有一個(gè)零向量，則,必線性相關(guān)。,例3.3.4 判斷向量組,,是否線性相關(guān)。,解：設(shè)有,,，使,,于是得：,,,取,,，則有,,故,,線性相關(guān)。,由此可得判斷向量組,,線性關(guān)系的一般步驟：,⑴ 設(shè),,⑵ 若能找到不全為零的,,，使⑴成立，則,線性相關(guān)；,若由⑴只能推出,,，則,線性相關(guān)。,更一般地，要判斷,,中向量組,,是否線性相關(guān)，,只要判斷齊次線性方程組,,是否有非零解。,若有非零解，則,線性相關(guān)；若只有零解，則,線性無(wú)關(guān)。,

22、二、線性關(guān)系的簡(jiǎn)單性質(zhì),性質(zhì)1：向量組,中的每一向量,,都可以由這一,組向量線性表示。,性質(zhì)2：如果向量r可由向量組,線性表示，而,每一個(gè)向量,又可由向量組,,線性表示。,證：設(shè),,而,,故,,性質(zhì)3：如果向量組,線性無(wú)關(guān)，則它的任一部,分組也線性無(wú)關(guān)。,性質(zhì),,：如果向量組,有部分組線性相關(guān)，則,也線性相關(guān)。,性質(zhì)4：設(shè)向量組,線性無(wú)關(guān)而向量組,,線性相關(guān)，則β一定可由,線性表示。,性質(zhì)5：線性無(wú)關(guān)向量組,的同位延長(zhǎng)向量組也線性無(wú)關(guān)。

23、,證：設(shè),,,,,線性無(wú)關(guān)，其延長(zhǎng)向量組為：,,,,,,,因?yàn)?線性無(wú)關(guān)，,,所以,,,定理3.3.1：向量組,線性相關(guān)的,（這個(gè)條件常被作為線性相關(guān)的另一種定義）,三、向量組的等價(jià)和替換定理,定義3.3.3 設(shè)向量組（Ⅰ）：,和向量組（Ⅱ）：,,是向量空間,,中的兩個(gè)向量組，如果組（Ⅰ）,中的任一向量,,都可由,線性表示，而組（Ⅱ）,的任一向量,,也可由,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。,例3.3.

24、5 向量組,,與向量組,,是否等價(jià)？,,而,,,與,,等價(jià)。,向量組的等價(jià)滿足以下三個(gè)性質(zhì)：,1、反身性：任何向量組均與自己等價(jià)；,2、對(duì)稱性：若,與,,等價(jià)，則,,也與,等價(jià)；,3、傳遞性：若,與,等價(jià)，,與,,具有以上三個(gè)性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價(jià)關(guān)系。,定理3.3.2（替換定理）：設(shè)向量組（Ⅰ）：,線性無(wú)關(guān)，且每一,,可由向量組（Ⅱ）：,,線性表示，則,,，且在適當(dāng)調(diào)整向量組（Ⅱ）中向量的,次序后，可使向量組（Ⅲ）：,與向量組（Ⅱ）等價(jià)

25、。,證明要點(diǎn)：（對(duì)向量組（Ⅰ）中的個(gè)數(shù)r使用歸納法）,當(dāng)r=1時(shí)，,,線性無(wú)關(guān)，,,且,,由于,,，必存在某個(gè),,不妨設(shè)就是,，于是有,于是向量組,,與向量組,,等價(jià)。,假設(shè)當(dāng)r=n-1時(shí)結(jié)論成立，即有,,且在適當(dāng)調(diào)整（Ⅱ）組中向量的次序后，,,與組（Ⅱ）等價(jià)。,則當(dāng)r=n時(shí)，考慮前n-1個(gè)向量，有歸納假設(shè)知，,且向量組（Ⅳ）,,與組（Ⅱ）等價(jià)。,又,,可被,,線性表示，,,可由向量組（Ⅳ）線性表示。,設(shè),由于,,線性無(wú)關(guān)，,,必不全為

26、零。,（否則得,,矛盾），,不妨設(shè),,因此，向量組（Ⅲ）,,,與向量組（Ⅳ）,等價(jià)。,由歸納假設(shè)知（Ⅳ）與（Ⅱ）等價(jià)，故向量組（Ⅲ）與（Ⅱ）等價(jià)。,由于,,,故,由替換定理可得以下兩個(gè)重要推論：,,于是,推論1：兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量。,推論2：如果向量組,,可由向量組,,線性,表示，且r>s，則向量組,必線性相關(guān)。,通俗地說(shuō)：如果個(gè)數(shù)多的向量組能被個(gè)數(shù)少的向量組表示，則個(gè)數(shù)多的向量組必線性相關(guān)。,推論3：n+

27、1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。,四、極大線性無(wú)關(guān)組,設(shè),,是向量空間,,一組不全為零的向量，若它們,線性相關(guān)，則其中必含有向量個(gè)數(shù)盡可能多的線性無(wú)關(guān)組,,，這個(gè)部分組本身線性無(wú)關(guān)，而若從原向量組,再添加一個(gè)向量就線性相關(guān)，可見(jiàn)原向量組中每個(gè)向量都可用這個(gè)部分組線性表示。具有這種性質(zhì)的向量組就稱為極大線性無(wú)關(guān)組，它對(duì)以后的討論是很重要的。,定義3.3.4 如果向量組,,的一個(gè)部分組：,,滿足以下兩條：,①,,線性無(wú)關(guān)；,②,,中任一向量可由,線

28、性表示，,則稱向量組,是向量組,,的一個(gè)極大,線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。,例3.3.6 求向量組,,的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。,解：,,線性無(wú)關(guān)，而,,，故,,是,,的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。,又,,線性無(wú)關(guān)，而,,，故,,也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。,可見(jiàn)一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組并不是唯一的，那么我們要問(wèn)：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)是否唯一？,定理3.3.3 等價(jià)向量組的極大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量，,特別的，一個(gè)向量組的兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組含有向量個(gè)數(shù)

29、相同。,由等價(jià)的傳遞性和推論1立得。,定義3.3.5： 一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的,個(gè)數(shù)叫做這個(gè)向量組的秩。,例3.3.7 求,,的秩（極大線性無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)）。,解一：,,線性無(wú)關(guān)，又,,不能被,,線性表示，,,線性無(wú)關(guān)。,但,,,是極大無(wú)關(guān)組，,,的秩為3。,解二：,,,,,,,,線性無(wú)關(guān)，且,,,是一極大無(wú)關(guān)組。,,線性無(wú)關(guān)，且,,,是一極大無(wú)關(guān)組，,,的秩為3。,如果向量組中每個(gè)向量均為0，則這個(gè)向量組的秩為0。,&#

30、167;3.4 矩陣的秩,上一節(jié)我們定義了向量組的秩，如果把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就是由這些行向量組成的。同樣，如果把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣也可以看作是由這些列向量組成的。,定義3.4.1 所謂矩陣的行秩是指矩陣的行向量所組成的,向量組的秩，矩陣的列秩是由矩陣列向量所稱向量組的秩。,例如3.4.1 求矩陣,,的行秩和列秩。,解：A的行向量組是：,,其極大線性無(wú)關(guān)組是：,,故A的行秩為3。,又A的列向量為,,則

31、列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組為,,故A的列秩也是3。,問(wèn)：矩陣A的行秩是否等于列秩？,為了解決這個(gè)問(wèn)題，先把矩陣的行秩與齊次線性方程組的解聯(lián)系起來(lái)。,引理：如果齊次線性方程組,,（3.4.1）,的系數(shù)矩陣,,的行秩r<n，那么它有非零解。,證明：用,,表示矩陣A的行向量。由于其秩為r，,故它的極大線性無(wú)關(guān)組是由r個(gè)向量組成。不妨設(shè),,一個(gè)極大無(wú)關(guān)組（否則可以調(diào)換向量的位置使之位于前r行，這相當(dāng)于交換方程組的位置。顯然不會(huì)改變方程組的解

32、）。由于向量組,,與,是等價(jià)的，故原方程組與,,（3.4.2）,是同解的。由于方程組（3.4.2）中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，故（3.4.2）從而（3.4.1）有非零解。,是它的,以下方程組,定理3.4.1 矩陣的行秩與列秩相等。,證明：設(shè)所討論的矩陣為,,而A的行,秩為r，列秩為s。（要證r=s，先證,,，再證,,）。,用,,表示矩陣A的行向量組，由于行秩為r，不妨設(shè),,是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。因?yàn)?線性無(wú)關(guān)，,故方程組,,

33、只有零解。,此即齊次線性方程組,,只有零解。,由引理知，這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣,,的行秩,因而在它的行向量中可以找到r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，,不妨設(shè)向量組,,,,,由上一節(jié)的性質(zhì)5知，其延長(zhǎng)向量組：,線性無(wú)關(guān)。,,,,,也線性無(wú)關(guān)。而它們恰好是矩陣A的r個(gè)列向量。由于它們線性無(wú)關(guān)，故知A的列秩,,同理可證：,,，因此有r=s。,由于矩陣的行秩等于列秩，因而統(tǒng)稱為矩陣的秩。,下面揭示矩陣的秩與行列式的關(guān)系。先考慮n階行列式。,定理3.4.2,,

34、矩陣,,的行列式為零的,充要條件是A的秩小于n。,證：充分性顯然：,設(shè)A的秩=r<n。用,,表示A的列向量組。不妨設(shè),,是列向量組的極大無(wú)關(guān)組。,設(shè),,考慮A的行列式,,,,必要性：,若,,，我們對(duì)n用歸納法證明。,當(dāng)n=1時(shí)，由,知A僅有一個(gè)元素就是0，故A的秩為0<1。,假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階矩陣成立?，F(xiàn)在考慮n階矩陣。用,,表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它們?nèi)?為零，則A的列向量組中含有零向量，其秩當(dāng)然小于n；若這

35、n個(gè)元素有一個(gè)不為0，不妨設(shè),,，則從第二列直到n列,分別加上第一列的倍數(shù),,這樣，在把,,消為零的過(guò)程中，行列式,化為,,,其中,,由于,,，故n-1階矩陣,,由歸納假設(shè)知，這個(gè)矩陣的列向量線性相關(guān)，,從而向量組,,也線性相關(guān)，,即存在不全為零的數(shù),,，使,,整理得,因此,,線性相關(guān)，它的秩小于n。,推論： 齊次線性方程組,,，有非零,解的充要條件是它的系數(shù)矩陣,,的行列式為0。,結(jié)論的必要性由Gramer法則立得，結(jié)論的充分性是定理

36、3.4.2的推論。,再考慮一般,,矩陣的秩與行列式的關(guān)系。,定義3.4.2 在一個(gè),,矩陣A中任意選定k行，k列，,,。位于這些選定的行和列的交叉位置,上的,個(gè)元素按照原來(lái)的順序所組成的k階行列式，稱為A的一,個(gè)k階子式。,定理3.4.3 矩陣A的秩為r的充要條件是：矩陣A中有一個(gè)r,階子式不為零，而所有的r+1階子式全為零。,證明：必要性。設(shè)矩陣A的秩為r，即矩陣A中行向量組的,極大線性無(wú)關(guān)組為r。因而任意r+1個(gè)行向量必線性相關(guān)，

37、線性相關(guān)向量組的“縮短”向量組也線性相關(guān)，故矩陣A的任意r+1階子式的行向量也線性相關(guān)。由定理3.4.2知，這種子式全為零，下證A中至少有一個(gè)r階子式不為零。,設(shè),,，秩A=r。A中極大無(wú)關(guān)組的個(gè)數(shù)為r，,不妨設(shè)這r個(gè)向量正是前r個(gè)行向量（不然，可以調(diào)換行向量的位置，而矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，另證）。把這r個(gè)向量取出來(lái)，作成新的矩陣,,,矩陣,的行秩為r。因而其列秩也為r，即,的列向量組的極大,無(wú)關(guān)組個(gè)數(shù)也是r個(gè)，不妨設(shè)就是前r列

38、線性無(wú)關(guān)，因而,,。它是矩陣A的一個(gè)r階子式。,充分性：設(shè)在矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而所有的,r+1階子式全為零。不妨設(shè)這r階子式在A的左上角，即,無(wú)關(guān)，又根據(jù)線性無(wú)關(guān)向量組的延長(zhǎng)向量組也線性無(wú)關(guān)知，A中前r個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的。由于A中所有r+1階子式全為零，因此再增加任一個(gè)行向量均線性相關(guān)（否則會(huì)導(dǎo)出A中有一個(gè)r+1階子式不全為零），可見(jiàn)矩陣A的其他行向量可由這r個(gè),。由定理3.4.2知這r個(gè)行組成的向量組線性,向量線性表示。故

39、矩陣行向量的秩為r，從而矩陣的秩為r。,如何求矩陣的秩？,例3.4.2 求,,的秩,解：因?yàn)锳中第一行與第四行對(duì)應(yīng)元素成比例，因而任何,四階子式均為0，故秩,,，現(xiàn)找到一個(gè)三階子式,,，故知A的秩為3。,從例3.4.1可以看出，根據(jù)定義來(lái)求矩陣的秩是繁雜的，下面利用矩陣的初等變換來(lái)求，因此先要證明。,定理3.4.4 初等變換不改變矩陣的秩。,例3.4.3 求矩陣,,的秩。,解：,,,,,故秩A=3。,定理3.4.5 秩為r的矩陣A可

40、通過(guò)初等變換化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：,,§3.5 線性方程組有解判別定理,在有了向量和矩陣的理論準(zhǔn)備之后，,下面給出線性方程,,—（3.5.1）,有解的判別定理。,定理3.5.1（線性方程組有解的判別定理）：,,,,,,,,,,,,證二：設(shè),,,,,于是方程組（3.5.1）可表為：,,—（3.5.2）,設(shè)方程組（3.5.1）有解，,,,由于等價(jià)的向量組有相同的秩，,是A的列向量組，,由（3.5.2）知β可由,線性表示，,,,故秩A=秩

41、,充分性：若秩A=秩,,,,,,,,定理3.5.2：設(shè)線性方程組（3.5.1）的系數(shù)矩陣,,A和增廣矩陣,有相同的秩r。,當(dāng)r<n時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。,,（為方便計(jì)，這里假設(shè)A的左上角r階子式不為零）。,由定理3.5.1知，方程組有解。,,,因此方程組（3.5.1）與以下方程組同解。,,當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解：,,當(dāng)r<n時(shí)，方程組的解為：,,,故方程組有無(wú)窮多解。,例3.5.1：解線性方程組,,其中a為實(shí)常數(shù)。,解：

42、,,,,,,,,當(dāng)a=1時(shí)，方程組無(wú)解。,,,例3.5.2：當(dāng)a、b取何值時(shí)，線性方程組,,,無(wú)解？有解？ 在有解時(shí)求其一般解。,,,,,,當(dāng)a=0且b=2時(shí)，線性方程組有解。,,,,是自由未知量。,§3.6 線性方程組的解結(jié)構(gòu),,如果可以的話，我們對(duì)解的情況就能更好地把握，這個(gè)問(wèn)題就是線性方程組的解結(jié)構(gòu)問(wèn)題。,這時(shí)，我們要問(wèn)，這些解之間有沒(méi)有什么關(guān)系？,能否用有限個(gè)解把全部解表示出來(lái)？,在討論線性方程組的解結(jié)構(gòu)之前，我們先考

43、慮其特殊情況：齊次線性方程組解的情況。,一、齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)。,設(shè)齊次線性方程組為：,,（3.6.1）,它的解具有以下兩個(gè)重要性質(zhì)：,性質(zhì)1：,證：,,,分別是（3.6.1）的兩個(gè)解，,齊次線性方程組（3.6.1）的兩個(gè)解的,和仍是方程組（3.6.1）的解。,即有,,,把這兩個(gè)解之和,代入方程組（3.6.1）得：,,故兩個(gè)解之和仍是方程組（3.6.1）的解。,性質(zhì)2：,,,,,把它代入方程組（3.6.1）得：,,,綜合性質(zhì)1，2得

44、,性質(zhì)3：,本性質(zhì)表明，如果方程組（3.6.1）有r個(gè)解，則這r個(gè)解的所有可能的線性組合就給出（3.6.1）的無(wú)窮多解。我們想知道，齊次線性方程組的全部解是否能夠通過(guò)它的有限個(gè)解的線性組合表示出來(lái)？答案是肯定的，為此須引入以下定義。,定義3.6.1：,,② 方程組（3.6.1）的任一個(gè)解都能表成,的線性組合。,,下面的定理證明，齊次線性方程組確有基礎(chǔ)解系，定理的證明過(guò)程實(shí)際上就是具體求基礎(chǔ)解系的方法。,定理3.6.1：,,在齊次線性

45、方程組（3.6.1）有非,A的秩。,向量的個(gè)數(shù)等于n-r，這里n為未知量的個(gè)數(shù)， r是,零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解,因?yàn)锳中行向量組中前r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，而后,在（3.6.1）有非零解的情況下，r<n。,為方便計(jì)不妨設(shè)A的左上角的r階子式不為零。,,（3.6.2）,（3.6.1）與以下方程組同解。,n-r個(gè)向量可由前r個(gè)向量線性表示。于是，方程組,把（3.6.2）改寫(xiě)成,,（3.6.3）,,也是（3.6.1）的解

46、。注意：對(duì)方程組（3.6.3）的,的右邊，由克萊姆法則可得（3.6.3）的解，從而,任兩個(gè)解，只要自由未知量的取值一樣，這兩個(gè)解,就完全一樣。,,,代替自由未知量,,就得到方程組（3.6.3），從而是,,,,設(shè)由,,,,于是得,,,,,,也是（3.6.1）的一個(gè)解。,,,故,,方程組（3.6.1）的通解可表為,,要注意的是：方程組（3.6.1）的基礎(chǔ)解系并非一個(gè)，任何一個(gè)線性無(wú)關(guān)且與某一基礎(chǔ)解系等價(jià)的,向量組都是其基礎(chǔ)解系。,例3.6.

47、1：,,的一個(gè)基礎(chǔ)解系。,求齊次線性方程組,解：,,,,,,因此，原方程組與以下方程組同解,,,,,二、一般線性方程組的解結(jié)構(gòu),,如果把其中的常數(shù)項(xiàng)換為0，就得齊次方程組：,,（3.6.1）,方程組（3.6.1）稱為方程組（3.5.1）的導(dǎo)出組。,（3.5.1）的解與其導(dǎo)出組（3.6.1）的解有密切聯(lián)系。,證：,1、線性方程組（3.5.1）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo),出組（3.6.1）的解。,,,是方程組（3.5.1）的解，即有,,,,故這兩

48、個(gè)解的差是其導(dǎo)出組（3.6.1）的解。,,,,,,,的左邊得,,定理3.6.2：,,,,（3.6.4）就給出（3.5.1）的全部解。,,,是其導(dǎo)出組（3.6.1）的一個(gè)解。,,令,,則,可見(jiàn)方程組（3.5.1）的任一解都可表為（3.6.4）的,,形式，當(dāng)η取遍（3.6.1）的全部解時(shí)，,就取遍（3.5.1）的全部解。,定理3.6.2表明，要求線性方程組的全部解，只要,找出它的一個(gè)特解以及它的導(dǎo)出組的全部解就可以了。,。,導(dǎo)出組是齊次線性