人教版九年級數(shù)學(xué)上冊第24章《 圓：24.2.1 點和圓的位置關(guān)系》

1、24.2.1 點和圓的位置關(guān)系,我國射擊運動員在奧運會上屢獲金牌，為祖國贏得榮譽(yù)，圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓（圓心相同、半徑不等的圓）構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績是如何計算的嗎？,解決這個問題，需要研究點和圓的位置關(guān)系.我們知道，圓上所有的點到圓心的距離都等于半徑.如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，點A在圓內(nèi)，點B在圓上，點C在圓外.容易看出：OA＜r,OB=r,OC＞r.反過來，如果OA＜r,OB=r,OC＞r，則可以得到點A

2、在圓內(nèi)，點B在圓上，點C在圓外.,歸 納,設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外 d＞r；點P在圓上 d=r；點P在圓內(nèi) d＜r.,,符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.,【例1】 已知⊙O的半徑r＝5 cm，圓心O到直線l的距離d＝OD＝3 cm，在直線l上有P，Q，R三點，且有PD＝4 cm，QD

3、＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三點與⊙O的位置關(guān)系各是怎樣的？,分析：要判斷點和圓的位置關(guān)系，實質(zhì)上是要比較點到圓心的距離與半徑的大小，而半徑為已知量，即需求出相關(guān)點到圓心的距離．,解：如圖，連接OR，OP，OQ. ∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l， ∴點P在⊙O上； ∵QD＝5 cm， ∴點Q在⊙O外； ∵RD＝3 cm， ∴點R在⊙O內(nèi)．,總 結(jié),判斷

4、點和圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計算出點到圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，由數(shù)量關(guān)系決定位置關(guān)系；構(gòu)造直角三角形并運用勾股定理是求距離的常用輔助方法．,⊙O的半徑為5 cm，點A到圓心O的距離OA＝3 cm，則點A與圓O的位置關(guān)系為(　　)A．點A在圓上 B．點A在圓內(nèi)C．點A在圓外 D．無法確定,B,我們知道，已知圓心和半徑，可以作一個圓，經(jīng)過一個已知點A能不能作圓，這樣的圓你能作出多少個？經(jīng)過兩個已知點A，B

5、能不能作圓？如果能，圓心分布有什么特點？,思考： 經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A,B,C能不能作圓？如果能，如何確定所作圓的圓心？,總 結(jié),(1)經(jīng)過平面內(nèi)一點可以作無數(shù)個圓；圓心可以是這一 點之外任何點． (2) 經(jīng)過平面內(nèi)兩點可以作無數(shù)個圓；圓心在連接這兩 點的線段的垂直平分線上． (3) 經(jīng)過平面內(nèi)不在同一直線上的三點，可以作一個圓， 并且只能作一個圓；圓心為連接其中任意兩點的線

6、 段的垂直平分線的交點．,【例2】如圖，點A，B，C在同一條直線上，點D在直線AB外， 過這4個點中的任意3個點，能畫圓的個數(shù)是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 分析：在4個點中取3個點確定一個圓，關(guān)鍵是 這3個點要不在同一直線上，因此本題 的實質(zhì)是在A，B，C中找2個點與點 D確定圓．根據(jù)題意得出：點D，A，B；點D，A，C

7、；點 D，B，C可以分別確定一個圓．故過這4個點中的任意3 個點，能畫圓的個數(shù)是3.故選C.,C,總 結(jié),確定一個圓的條件：(1)已知圓心、半徑，可以確定一個圓．(2)不在同一條直線上的三個點確定一個圓．,1.下列關(guān)于確定一個圓的說法中，正確的是(　　) A．三個點一定能確定一個圓 B．以已知線段為半徑能確定一個圓 C．以已知線段為直徑能確定一個圓 D．菱形的四個頂點能確定一個

8、圓,2.已知AB＝4 cm，則過點A，B且半徑為3 cm的圓有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個,C,B,三角形的外接圓,試一試：任意畫一個三角形，然后再畫出經(jīng)過三個頂點的圓.,經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心.,【例3】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O

9、 的半徑．,分析：要求⊙O的半徑，已知弦AB的長，需以AB為邊與⊙O的半徑(或直徑)構(gòu)成等腰直角三角形，因此有兩個切入點．,方法一：如圖1，連接OA，OB，利用圓周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定理求出半徑；,方法二：如圖2，作直徑AD，連接BD，利用同弧所對的圓周角相等，得∠D＝∠C＝45°，再利用勾股定理可求出半徑．,解：方法一：如圖1，連接OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，

10、 ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°. ∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42. 解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合題意，舍去)． ∴⊙O的半徑為2 .,圖 1,方法二：如圖2，作直徑AD，連接BD，設(shè)⊙O的半徑為r.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°.又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AB＝4.在

11、Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2，解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合題意，舍去)．∴⊙O的半徑為2 .,圖 2,總 結(jié),求三角形的外接圓半徑時，最常用的辦法是作出圓心與三角形頂點的連線(即半徑)，延長使這條半徑變?yōu)橹睆?，將求半徑轉(zhuǎn)化為直角三角形中求邊的長．,下列說法中，正確的是(　　) A．三點確定一個圓 B．圓有且只有一個內(nèi)接三角形 C．三角形的外心到三角形三邊的

12、距離相等 D．三角形有且只有一個外接圓,D,反 證 法,思考：經(jīng)過同一條直線上的三個點能作出一個圓嗎？如圖，假設(shè)經(jīng)過同一條直線l上的A,B,C三點可以作一個圓.設(shè)這個圓的圓心為P，那么點P既在線段AB的垂直平分線l1上，又在線段BC的垂直平分線l2上，即點P為l1與l2的交點，而l1⊥l，l2⊥l，這與我們以前學(xué)過的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾.所以，經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作圓.,歸 納,上面證

13、明“經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作圓”的方法與我們以前學(xué)過的證明不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)經(jīng)過同一條直線上的三個點可以作一個圓），由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.,,【例4】用反證法證明平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”. 證明：如圖，我們要證明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2. 假設(shè)∠1≠∠2，過點O作直線A′B′，

14、 使∠EOB′=∠2.根據(jù) “同位角相等，兩直線平行”，可 得A′B′∥CD.這樣，過點O就有 兩條直線AB，A′B′都平行于CD，這與平行公理“過 直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”矛盾. 這說明假設(shè)∠1≠∠2不正確，從而∠1=∠2.,總 結(jié),(1)反證法適用情形：①命題的結(jié)論的表述為“肯定”或“否定”， 且用直接法證較困難；②證明一