九年級數(shù)學(xué)上冊圓專題--輔助線

1、第1頁共5頁OCBA圓專題一輔助線1遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑?；蛘哌B結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點。作用：1、利用垂徑定理；2、利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形；5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，ＡＢ是⊙O的直徑

2、PO⊥AB交⊙O于P點，弦PN與AB相交于點M，求證：PM?PN=2PO2.分析：要證明PM?PN=2PO2，即證明PM?PC=PO2，過O點作OC⊥PN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理NC=PC，只需證明PM?PC=PO2，要證明PM?PC=PO2只需證明Rt△POC∽Rt△PMO.證明:過圓心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN21∵PO⊥ABOC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴即∴PO2=

3、PM?PC.∴PO2=PM?PN，∴PM?PN=2PO2.POPCPMPO?21【例1】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=45，BC=2，求⊙O的面積?！纠?】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一個動點，那么OP的長的取值范圍是_________【例3】如圖，弦AB的長等于⊙O的半徑，點C在弧AMB上，則∠C的度數(shù)是________.第3頁共5頁【例6】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30角，CD與⊙O切于C，交A

4、B的延長線于D，求證：AC=CD6遇到證明某一直線是圓的切線時切線判定分兩種：公共點未知作垂線、公共點已知作半徑切線判定分兩種：公共點未知作垂線、公共點已知作半徑切線的判定定理是：切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判定一條，就是說，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時滿足這樣的兩條：（直線是否是切線，應(yīng)同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外

5、端，）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以）直線垂直于這條半徑，所以在證明直線是切線時在證明直線是切線時往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線才能順利地解決問題才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律下面是添輔助線的小規(guī)律.1無點作垂線無點作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓需證明的切線，條件中未告之與圓有交點，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂

6、線，證明垂足到圓心的距離等于半徑心的距離等于半徑.例7已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90.求證：DC是⊙O的切線.分析：DC與⊙O沒有交點，“無點作垂線”，過圓心O作OE⊥DC，只需證OE等于圓的半徑.因為AO為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需證明△DEO≌△DAO證明：作OE⊥DC于E點，取DC的中點F，連結(jié)OF.又∵∠DOC=90.∴FO=FD∴∠1=∠3

7、.∵AD⊥AB，BC⊥AB∴BC∥AD∴OF為梯形的中位線.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分線.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圓的半徑.∴DC是⊙O的切線.2有點連圓心有點連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直當(dāng)直線和圓的公共點已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8已知：如圖，AB為⊙O的直徑，

8、BC為⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：CD是⊙O的切線.分析：D在⊙O上，有點連圓心，連結(jié)DO，證明DO⊥DC即可.證明：連結(jié)DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC∴∠ODC=∠OBC，∵BC為⊙O的切線，切點為B∴∠OBC=90，∴∠ODC=90，又D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線.【例7】如圖所示，已知AB是⊙O的直