17哈密頓函數(shù)守恒原理

1、第十七講哈密頓函數(shù),本講導(dǎo)讀,廣義動量守恒原理,哈密頓函數(shù),非完整系統(tǒng)的動力學(xué),拉格朗日動力學(xué)的推廣,如拉格朗日函數(shù)L不包含某個廣義坐標(biāo)q?, 即?L/ ? q? =0, 這種廣義坐標(biāo)叫作循環(huán)坐標(biāo)(可遺坐標(biāo)). 于是, 拉格朗日方程(5.29)給出,即廣義動量守恒,如果循環(huán)坐標(biāo)是系統(tǒng)的整體平移坐標(biāo), 拉格朗日函數(shù)不包含整體平移坐標(biāo),即拉格朗日函數(shù)L對于整體平移是不變的, 廣義動量守恒原理就歸結(jié)為動量守恒原理. 若拉格朗日函數(shù)不包含整體

2、轉(zhuǎn)動坐標(biāo), 拉格朗日函數(shù)L對于整體轉(zhuǎn)動不變, 拉格朗日函數(shù)是各向同性的, 則廣義動量守恒原理歸結(jié)為角動量守恒原理. 在矢量力學(xué)中, 動量守恒原理和角動量守恒原理是以牛頓第三定律為先決條件(內(nèi)力的矢量和為零, 內(nèi)力的力矩和為零), 而廣義動量守恒原理則并不以牛頓第三定律先決條件.,一、廣義動量守恒原理,例1 質(zhì)量為M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 質(zhì)量為m的光滑小楔子沿著大楔子的光滑斜邊滑下. 求這兩個楔子的加速度.,解: 大楔子在

3、水平方向運動, 小楔子在大楔子斜邊上運動. 系統(tǒng)有兩個自由度. 取桌面上的固定點O, 大楔子質(zhì)心相對于O點坐標(biāo)記作X. 小楔子質(zhì)心相對于大楔子斜邊底面而沿著斜邊的坐標(biāo)記作q, X和q可作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo).,主動力是兩個楔子所受的重力, 大楔子的勢能在運動過程中不起變化, 可以不考慮. 只要討論小楔子的勢能就夠了. 計算動能的時候要注意, 小楔子的速度分量不僅僅是沿斜邊的, 而目還有隨著大楔子在水平方向運動的速度.,于是, 拉格朗日方程給

4、出運動方程,大楔子的加速度以及小楔子相對于大楔子的加速度為,拉格朗日函數(shù)L是時間、廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù), L的時間變化率,在主動力全是保守力的情況下, 利用完整系統(tǒng)的拉格朗日方程把?L/ ? q?改寫, 即得,這樣,二、哈密頓函數(shù)守恒原理,定義哈密頓函數(shù),如拉格朗日函數(shù)L不是時間顯函數(shù), 哈密頓函數(shù)H守恒,哈密頓函數(shù)是什么？,因為坐標(biāo)變換不顯含時間, 所以,于是,因為,這樣, 我們得到,在坐標(biāo)變換不顯含時間的條件下, 動能是廣義速度

5、的二次齊次式, 哈密頓函數(shù)就是機械能.,如果約束是不穩(wěn)定的或者約束是穩(wěn)定的, 但變換ri＝ri(q,t) 顯含時間,,廣義速度二次函數(shù)T2 一次函數(shù)T1 零次函數(shù)T0,哈密頓函數(shù),,這樣, 在變換式顯含時間的條件下, 哈密頓函數(shù)H并非機械能,只能姑名之為廣義能量.,注意: 矢量力學(xué)關(guān)于機械能守恒的條件為作用力是保守力. 可是, 哈密頓函數(shù)守恒即機械能守恒卻還要求坐標(biāo)變換式不

6、顯含時間. 這兩種根源是否矛盾呢? 原來, 這兩者并不是一回事. 矢量力學(xué)所說的勢能對應(yīng)于所有的力,包括主動力和約束力, 而拉格朗日函數(shù)L和哈密頓函數(shù)H中的勢能則只對應(yīng)廣義力, 即只包括主動力, 不包括理想約束力. 可見這兩種勢能并不相同, 機械能守恒的條件當(dāng)然也就不同了.,用拉格朗日方程求解完整系力學(xué)問題的一般程序： (a)分析系統(tǒng)所受的約束.如系統(tǒng)確為完整系, 就根據(jù)系統(tǒng)的自由度選擇恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo). (b)建立各質(zhì)

7、點的矢徑與廣義坐標(biāo)的變換方程. 為方便起見, 盡可能使變換方程不顯含時間. 如果能直接完成下一步(c), 則此步驟可以省略. (c)用廣義坐標(biāo)和廣義速度表示動能, 用廣義坐標(biāo)表示廣義力. 對于保守系統(tǒng), 寫出廣義坐標(biāo)表示的勢能. 最后寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù). 注意，這里的動能和勢能一般是指慣性系中的動能和勢能,若使用非慣性系, 則應(yīng)加上與慣性力相應(yīng)的勢能. 它可能不是只依賴于廣義坐標(biāo)和時間, 而是和廣義速度有關(guān)的廣義勢能

8、. (d)列出拉格朗日方程. (e)利用初始條件解出拉格朗日方程. (f)分析結(jié)果.,例如，在勻速直線運動的汽車上有一諧振子在光滑水平槽中往返振動.取q軸沿振動方向, 原點在諧振子的平衡點. 選這汽車為參考系, 諧振子的,顯然,所以H守恒. 另一方面，由于動能T是廣義速度的二次單項式，所以H就是機械能．誠然，,改取地面為參考系,這也是慣性系.如果諧振子的振動槽平行于汽車行進方向，則,v0是汽車的速度. 因

9、 所以H守恒.但動能T不是廣義速度的二次齊次式，所以H不是機械能．事實上,如汽車是勻加速運動, 其速度為at, 仍以地面為參考系, 則,這時,,所以H不守恒. 另一方面, T 不是廣義速度二次齊次式, 所以H也不是機械能. 事實上，,例2 試按“拉格朗日方式”研究單擺的運動.,解: 單擺有一個自由度. 取角坐標(biāo)作為廣義坐標(biāo). 主動力是重力mg, 是保守力. 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),拉格朗日方

10、程給出運動方程,我們不直接解這個微分方程. 考慮到 L 不顯含時間, 哈密頓函數(shù)守恒. 哈密頓函數(shù),這是機械能. 這樣,上式可改寫為,這是一階微分方程.為求解這個微分方程, 應(yīng)區(qū)分三種情況,這時,隨著擺球的上升,它的角速度不斷減小并將在某個角度成為零, 然后,擺球折回而下降. 方程可變?yōu)?做代換,兩邊積分,這類積分不能用初等函數(shù)表出,它叫第一類橢圓積分.,擺球從?＝0到?所經(jīng)歷的時間是周期的四分之一. 相應(yīng)地從?＝0變到?／2. 這樣,

11、 周期,其中的積分叫第一類完全橢圓積分,通常記作K(k).如果把被積函數(shù)展為冪級數(shù), 然后逐項積分, 則,原方程可以化為,?隨t增長而增大. t?? ,? ??, 單擺無限地逼近豎直向上的位置.,這時沒有折回現(xiàn)象, 原方程化為,兩邊積分, 仍得橢圓積分,擺球從?＝0到?所經(jīng)歷的時間是繞懸掛點轉(zhuǎn)動周期的二分之一. 所以,廣義坐標(biāo)的個數(shù)超過了系統(tǒng)的實際的自由度. 盡管可以用廣義坐標(biāo)把達朗伯原理寫為,但這些虛位移并不獨立, 受到非完整約束方程

12、的約束,對于線性非完整約束，約束方程可表示為,其中A??和A ?只是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù), 取微分,,三、不完整約束系統(tǒng)的動力學(xué),由于虛位移不是時間的函數(shù), 所以?t =0, 所以,即,把上述方程組各個方程分別乘以待定常數(shù)??并與達朗伯方程相加, 得,雖然虛位移不獨立,我們總可以選擇乘子,使得,把上述動力學(xué)方程和約束條件聯(lián)立起來就可以解出問題.,如所有的主動力是保守力, 相應(yīng)的勢能為V, 則廣義主動力可表為,則,最后一項正是廣義力形式,

13、 對應(yīng)第?個約束的約束力的各個分量.,例3 斜冰面上冰刀簡化模型的運動.,解: 設(shè)冰刀可抽象為以剛性輕桿相連的兩個質(zhì)點, 并且m1=m2=m.桿的長為l. 當(dāng)冰刀在冰面上運動時, 質(zhì)心(桿的中點)的速度只能沿桿長的方向. 已知冰面的傾角為?.,取固定于斜冰面的坐標(biāo)系oxyz, 其中oz垂直于冰面, oy在冰面上并沿水平方向. 為確定冰刀的位形, 可取質(zhì)心的坐標(biāo)(x,y)及冰刀與x軸的夾角?為廣義坐標(biāo). 質(zhì)心只沿桿長方向運動, 約束

14、表示為,這是非完整約束.,系統(tǒng)的動能為質(zhì)心平動動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能之和,即,系統(tǒng)的勢能為,于是可以寫出拉格朗日函數(shù),按照拉格朗日乘子法建立動力學(xué)方程,可得,約束方程, 知,對時間求導(dǎo),,這樣得,所以,再積分一次,得,利用初始條件,對于保守系, 廣義力Q?=-?V/ ? q?, 定義拉格朗日函數(shù)L=T-V, 就得到拉格朗日方程,以上引進的勢函數(shù)V與廣義速度無關(guān), 可稱之為普通勢,但是, 拉格朗日方程并不只適用于普通勢的系統(tǒng). 我們可以作如

15、下推廣, 假定系統(tǒng)的廣義力Q?滿足,顯然, 定義L＝T-V, 拉格朗日方程依然成立.為保證廣義力表達式不顯含廣義加速度, V函數(shù)只可能含有廣義速度的線性項, 即,四、拉格朗日動力學(xué)的推廣,這個勢函數(shù)V叫廣義勢, 或速度相關(guān)勢,推廣到廣義勢, 意味著從機械運動推廣開來. 例如, 在經(jīng)典電磁學(xué)中, 帶電粒子在電磁場中所受的力是,引入矢量勢A(r,t)和標(biāo)量勢?(r,t),則可得到,其中,這樣，可定義廣義勢能,而廣義力為,定義 L=T-V,所

16、以, 仍有,這樣, 拉格朗日力學(xué)也可以用來研究電磁運動等, 而不像牛頓力學(xué)那樣只能研究機械運動.,這時,如果x是循環(huán)坐標(biāo), 就是說L不包含x, 即?和A與x無關(guān),則相應(yīng)的動量px守恒, 即,注意: 這動量并不就是運動動量, 而多出一項qAx, 多出的這項其實是電磁場的動量.,注意: 動量守恒的根據(jù)只在于x是循環(huán)坐標(biāo), 跟牛頓定律無關(guān). 可見電磁場很難采用“牛頓方式”, 電磁場的作用也談不上牛頓定律.,對應(yīng)哈密頓函數(shù),具有普通勢或廣義勢的

17、系統(tǒng), 拉格朗日函數(shù)可表示為動能減勢能, 而且一定可寫為,L2是廣義速度二次式, L1是廣義速定一次式, L0與廣義速度無關(guān). 這種構(gòu)造的系統(tǒng)稱為自然拉格朗日系統(tǒng). 不能寫為這種形式的系統(tǒng)叫非自然拉格朗日系統(tǒng).,例: 質(zhì)點運動速度接近光速時, 牛頓定律已不再適用,但拉格朗日方程仍然可以適用. 在保守場V中的質(zhì)點,定義,這正是狹義相對論中的質(zhì)點運動方程,但要注意拉格朗日函數(shù)已不再是T-V, 因為狹義相對論中的動能,至于哈密頓函數(shù),仍是質(zhì)點