過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程及應(yīng)用

1、第 1 頁過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程及應(yīng)用浙 江 曾 安 雄高 中 數(shù) 學(xué) 第 二 冊 (上 )(修 訂 試 驗(yàn) 本 )的 第 88 頁 B 組 第 4 題 是 ：兩 條 曲 線 的 方 程 是 f1(x， y)＝ 0 和 f2(x， y)＝ 0， 它 們 的 交 點(diǎn) 是 P(x0，y0)， 求 證 方 程 ：f1(x， y)＋ f2(x， y)＝ 0 的 曲 線 也 經(jīng) 過 點(diǎn) P( 是 任 意 實(shí) 數(shù) )． ? ?本 題 證 明

2、 較 易 ， 在 此 略 ． 它 揭 示 了 “ 過 兩 曲 線 交 點(diǎn) 的 曲 線 系 方 程 (不含 曲 線 f2(x， y))” ， 在 解 決 過 兩 曲 線 交 點(diǎn) 問 題 極 其 簡 捷 ， 下 面 舉 例 說明 ．一 、 求 直 線 方 程例 1 求 經(jīng) 過 兩 條 曲 線 x2＋ y2＋ 3x－ y＝ 0 和 3x2＋ 3y2＋ 2x＋ y＝ 0 交 點(diǎn)的 直 線 的 方 程 ．解 ： 過 兩 已 知 曲 線 的 交 點(diǎn)

3、 的 曲 線 系 方 程 是 ：(x2＋ y2＋ 3x－ y)＋ (3x2＋ 3y2＋ 2x＋ y)＝ 0 ?整 理 ， 得 (3 ＋ 1)x2＋ (3 ＋ 1)y2＋ (2 ＋ 3)x＋ ( － 1)y＝ 0． ? ? ? ?令 3 ＋ 1=0， 即 ＝ - ， 故 所 求 的 直 線 為 ? ? 317x－ 4y＝ 0．二 、 求 定 點(diǎn) 坐 標(biāo)例 2 求 證 ： 不 論 m 取 何 實(shí) 數(shù) ， 方 程 (3m＋ 4)x＋ (5－

4、2m)y＋ 7m－ 6＝ 0所 表 示 的 曲 線 必 經(jīng) 過 一 個 定 點(diǎn) ， 并 求 這 一 定 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ．解 ： 由 原 方 程 整 理 ， 得(4x＋ 5y－ 6)＋ m(3x－ 2y＋ 7)＝ 0第 3 頁令 1＋ ＝ 4－ 4 ≠ 0， 得 ＝ ， 代 入 ① 得 x 2＋ y 2＝ 17 ? ? ? 35這 說 明 橢 圓 與 雙 曲 線 的 交 點(diǎn) 在 同 一 個 圓 x 2＋ y 2＝ 17 上 ．運(yùn)用曲線

5、系解曲線方程問題 運(yùn)用曲線系解曲線方程問題張寬鎖在《解析幾何》中，有關(guān)求曲線方程的問題，大都采用待定系數(shù)法求解，而采取這 種方法有時未知數(shù)多，解方程組比較麻煩，有些還要分類討論，因此，有沒有一些 更簡便的方法解決這些問題呢？本文就此談?wù)勄€系方程的應(yīng)用。引入：高中《數(shù)學(xué)》第二冊（上）P88 第 4 題是：如果兩條曲線方程是 f1(x，y)＝0 和 f2(x，y)＝0，它們的交點(diǎn)是 P（x0，y0），求證：方程 f1(x，y)＋λf2（x

6、，y） ＝0 的曲線也經(jīng)過點(diǎn) P（λ是任意常數(shù)）。由此結(jié)論可得出：經(jīng)過兩曲線 f1(x，y) ＝0 和 f2（x，y）＝0 交點(diǎn)的曲線系方程為：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。利用 此結(jié)論可得出相關(guān)曲線系方程。一. 直線系概念：具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系。它的方程稱直線系方 程。幾種常見的直線系方程：（1）過已知點(diǎn) P（x0，y0）的直線系方程 y－y0＝k（x－x0）（k 為參數(shù)）（2）斜率為 k 的直線系方程

7、 y＝kx＋b（b 是參數(shù)）（3）與已知直線 Ax＋By＋C＝0 平行的直線系方程 Ax＋By＋λ＝0（λ為參數(shù)）（4）與已知直線 Ax＋By＋C＝0 垂直的直線系方程 Bx－Ay＋λ＝0（λ為參數(shù)）（5）過直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 與 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交點(diǎn)的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ為參數(shù)）【例 1】已知直線 l1：x＋y＋2＝0 與 l2：2x－3y－3＝0，求