雙曲線的定義及標準方程教學案

1、<p>　　圓錐曲線教案 雙曲線的定義及其標準方程教案</p><p><b>　　教學目標</b></p><p>　　1．通過教學，使學生熟記雙曲線的定義及其標準方程，理解雙曲線的定義，雙曲線的標準方程的探索推導過程．</p><p>　　2．在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，培養(yǎng)學生會合情猜想，進一步提高分析、歸納、推理的能力．

2、</p><p>　　3．培養(yǎng)學生濃厚的學習興趣，獨立思考、勇于探索精神及實事求是的科學態(tài)度．</p><p><b>　　教學重點與難點</b></p><p>　　雙曲線的定義和標準方程及其探索推導過程是本課的重點．定義中的“差的絕對值”，a與c的關系的理解是難點．</p><p><b>　　教學過程&l

3、t;/b></p><p>　　師：橢圓的定義是什么？橢圓的標準方程是什么？</p><p>　　(學生口述橢圓的兩個定義，標準方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標準方程和圖象放出來．)</p><p>　　師：橢圓的兩個定義雖然都是由軌跡的問題引出來的，但所采用的方法是不同的．定義二是在認識上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來，在掌握了坐標法基礎上利用坐標方法建立軌跡

4、方程．這是通過方程去認識軌跡曲線．定義中設定的常數(shù)2a，|F1F2|=2c，它們之間的變化對橢圓有什么影響？</p><p>　　生：當a=c時，相應的軌跡是線段F1F2．當a＜c時，軌跡不存在．這是因為a、c的關系違背了三角形中邊與邊之間的關系．</p><p>　　師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和”改寫為“平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差”，那么點的軌跡

5、會怎樣？它的方程又是怎樣的呢？</p><p>　　(師生共同做一個簡單的實驗，請同學們把準備好的實驗用具拿出來，一起做實驗．教師把教具掛在黑板上，同時板書：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之差為常數(shù)的點的軌跡是什么曲線？邊畫、邊操作、邊說明．)</p><p>　　師：做法是：適當選取兩定點F1、F2，將拉鎖拉開一段，其中一邊的端點固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2(＜F1F2)，作

6、為動點M到兩定點F1和F2距離之差．而后把它固定在F2處．這時將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸打開鉛筆就徐徐畫出一條曲線；同理可畫出另一支．如圖2-36．</p><p>　　師：通過這個實驗，你們發(fā)現(xiàn)了什么？</p><p>　　生：所畫的曲線不是橢圓，是兩條相同的曲線，只是位置不同．其原因都是應用“平面內(nèi)與兩個定點的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是

7、同一常數(shù)的條件畫圖的．</p><p>　　師：所畫出圖象與橢圓完全不同，能說出屬于哪一類曲線嗎？</p><p>　　生：屬于雙曲型曲線．</p><p>　　師：很好！我們把這類曲線就叫做雙曲線．我們思考以下幾個問題：</p><p>　　1．|MF1|和|MF2|哪個大？</p><p>　　生：不一定．當點M在

8、雙曲線右支時，有|MF1|＞|MF2|，當點M在雙曲線左支時，|MF1|＜|MF2|．</p><p>　　師：2．點M與點F1、F2距離之差是否就應是|MF1|-|MF2|？</p><p>　　生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|．</p><p>　　師：如何表示這兩種情況？</p><p>　　生：若要同時表示這兩種情況，正確的

9、表示是應||MF1|-|MF2||．無論哪種情況總是成立的．</p><p>　　師：3．點M與點F1、F2的距離之差的絕對值與|F1F2|的大小關系怎樣？</p><p>　　生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應是小于|F1F2|．否則作不出圖形．</p><p>　　在上述討論的基礎上，引導學生概括出雙曲線的定義，教師板書課題．</p><

10、;p>　　(學生試敘述，教師協(xié)助完成．)</p><p><b>　　一、雙曲線的定義</b></p><p>　　平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)2a(a＞0且小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，這兩個焦點間的距離叫做焦距，記作2c(c＞0)．</p><p>　　通過學生自己動手畫圖，

11、得到了雙曲線定義，同時進一步讓學生在實驗中觀察定義中兩個常數(shù)間大小關系對于動點M的軌跡的影響．激發(fā)學生探求知識的興趣，調(diào)動學生的求知的渴望．師生共同歸納：</p><p>　　師：由定義知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并設動點為M，請大家討論以下幾個問題：</p><p>　　(1)當0＜a＜c時，動點M的軌跡是什么？</p><p>　　學

12、生略思考一下，回答出是雙曲線．</p><p>　　(2)當a=c時，動點M的軌跡是什么？</p><p>　　分析  若a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如圖2-37所示：</p><p>　　可以看出，動點M的軌跡是分別以點F1、F2為端點，方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線．</p><p>　　(3)當a＞c

13、＞0時，動點M的軌跡是什么？</p><p>　　由前面歸納已知動點M的軌跡不存在．這是因為a、c的關系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)．</p><p>　　二、雙曲線的標準方程</p><p>　　師：現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以參照求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．首先建立直角坐標系，即以兩定點連線為x軸，兩定點的垂直平分線為y軸．然后，觀察雙曲線

14、的特征，猜測雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似之處？(如圖2-38)</p><p>　　當點M移動到x軸上點A1、A2時，如何求點A1、A2的坐標？</p><p>　　生：點A1、A2是關于原點對稱的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．</p><p>　　所以點A

15、1和A2的坐標分別是(-a，0)和(a，0)．</p><p>　　師：請同學們對照橢圓的定義及其標準方程推導過程導出雙曲線的標準方程．</p><p>　　生：1．建立直角坐標系．</p><p>　　2．設雙曲線上任意一點的坐標為M(x、y)，|F1F2|=2c，并設F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．</p><p>　　3．由兩點間距離

16、公式，得</p><p>　　4．由雙曲線定義，得</p><p>　　|MF1|-|MF2|=±2a，即</p><p><b>　　5．化簡方程</b></p><p><b>　　兩邊平方，得</b></p><p><b>　　化簡得：</b

17、></p><p><b>　　兩邊再平方，整理得</b></p><p>　　(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．</p><p>　　(為使方程簡化，更為對稱和諧起見．)</p><p>　　由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0．</p><p>　　設c2-a2

18、=b2(b＞0)，代入上式，得</p><p>　　b2x2-a2y2＝a2b2，</p><p><b>　　也就是</b></p><p>　　師：利用橢圓標準方程推導類比地推導出雙曲線的標準方程，它同樣具有方程簡單、對稱，具有和諧美的特點，便于我們今后研究雙曲線的有關性質(zhì)．這一簡化的方程稱為雙曲線的標準方程．</p><

19、;p>　　結(jié)合圖形再一次理解方程中a＞b＞0的條件是不可缺少的．b的選取不僅使方程得到了簡化、和諧，也有實際的幾何意義．具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處．</p><p>　　師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線的焦點在y軸上，這時雙曲線的標準方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫的圖形上觀察，對比來看一看互相間的轉(zhuǎn)化．(圖2-39、圖2-40)</p><p>　　生：從

20、圖形的對稱來看，只要交換一下x軸、y軸的名稱，然后逆時針翻轉(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點在y軸上的雙曲線．</p><p>　　師：從方程上來分析，只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程</p><p>　　此方程也是雙曲線的標準方程．</p><p>　　師：如何記憶這兩個標準方程？</p><p>　

21、　生：雙曲線的方程右邊為1，左邊是兩個完全平方項，符號一正一負，為正的項相應的坐標軸為實軸，焦點在該軸上，且分母為a2．負項相應的坐標軸為虛軸，且分母為b2．</p><p>　　師：用一句話概括“以正負定實虛”．</p><p><b>　　三、舉例</b></p><p>　　例1  已知兩點F1(-4，0)和F2(4，0)，曲線

22、上的點到兩個焦點的距離之差為6，求曲線方程．</p><p>　　解  由焦點坐標可知c=4，2a=6，</p><p>　　所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7．</p><p>　　所以，所求的雙曲線方程為</p><p>　　例2  求滿足下列條件的雙曲線方程</p><p>　　1．

23、若a=4，b=3，焦點在x軸上；</p><p>　　解  (1)因為a=4，b=3，并且焦點在x軸上，</p><p>　　所以所求的雙曲線方程為</p><p>　　(2)由題意設雙曲線的標準方程為：</p><p>　　所以代入雙曲線方程得</p><p>　　所以所求的雙曲線的標準方程為</p&

24、gt;<p>　　例1和例2可由學生自行解答，黑板上板演，并對照檢查對錯．</p><p>　　四、小結(jié)(師生共同參與完成)</p><p><b>　　1．知識方面</b></p><p>　　雙曲線的定義和雙曲線的標準方程；方程中的3個常數(shù)a、b、c間的關系：c2=a2+b2．</p><p>　　理解

25、“以正負定實虛”的意義，會確定實軸、虛軸、焦點所在位置，會求雙曲線的標準方程．</p><p>　　2．在教學中體會到數(shù)學知識的和諧美，幾何圖形的對稱美．</p><p>　　五、作業(yè)：第89頁習題七1，2．</p><p><b>　　六、課后思考題</b></p><p>　　2．結(jié)合圖形的演示，試討論||MF1|-

26、|MF2||=2a，在2a趨近于零的過程中雙曲線的變化趨勢．</p><p><b>　　設計說明</b></p><p><b>　　1．關于教學目標</b></p><p>　　(1)由于雙曲線的定義及其標準方程是本章的重點之一，因而作為本節(jié)課的教學目標之一．</p><p>　　(2)MM教育

27、方式的基本要求，其課堂教學要師生共同參與．每個環(huán)節(jié)都應給學生創(chuàng)設一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會．運用教具的演示，增強了數(shù)學教學的直觀性，有助于培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、抽象、歸納及數(shù)學語言的運用能力．對全面提高學生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學目標2和3．</p><p><b>　　2．關于教學重點</b></p><p>　　為實現(xiàn)教學目標，把充分

28、展現(xiàn)雙曲線的定義及其標準方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識形成過程作為本節(jié)課的重點．</p><p><b>　　3．關于教學方法</b></p><p>　　按照MM教育方式“學習、教學、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，在教學中充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用．運用問題性，給學生創(chuàng)造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，使學生在開放、民主、愉悅和諧的

29、教學氛圍中獲取新知識，提高能力，促進思維發(fā)展．因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學方法．</p><p><b>　　4．關于教學過程</b></p><p>　　(1)利用學生已清楚的知識，轉(zhuǎn)換條件提出問題，通過自己動手和聯(lián)想，為類比地探索雙曲線的定義奠定基礎，最后推出雙曲線的定義．</p><p>　　(2)在雙曲線的標準方程的推導過程中，揭示科

30、學實驗的規(guī)律，巧妙地把學生從舊知識引向新知識，使知識過渡那么自然，學生學起來不感到困難．體現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學生合情推理能力、邏輯思維能力、科學思維方式、實事求是的科學態(tài)度及勇于探索的精神．</p><p>　　(3)例題比較簡單，由學生自行解答，同時由學生板演，在解題過程中培養(yǎng)學生合理地思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的學習習慣．同時隨時注意糾正學生在學習過程中的偏差．</p><p&