雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案

1、<p>　　圓錐曲線教案 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案</p><p><b>　　教學(xué)目標(biāo)</b></p><p>　　1．通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，理解雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過(guò)程．</p><p>　　2．在與橢圓的類(lèi)比中獲得雙曲線的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)合情猜想，進(jìn)一步提高分析、歸納、推理的能力．

2、</p><p>　　3．培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，獨(dú)立思考、勇于探索精神及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．</p><p><b>　　教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)</b></p><p>　　雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其探索推導(dǎo)過(guò)程是本課的重點(diǎn)．定義中的“差的絕對(duì)值”，a與c的關(guān)系的理解是難點(diǎn)．</p><p><b>　　教學(xué)過(guò)程&l

3、t;/b></p><p>　　師：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？</p><p>　　(學(xué)生口述橢圓的兩個(gè)定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圖象放出來(lái)．)</p><p>　　師：橢圓的兩個(gè)定義雖然都是由軌跡的問(wèn)題引出來(lái)的，但所采用的方法是不同的．定義二是在認(rèn)識(shí)上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來(lái)，在掌握了坐標(biāo)法基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)方法建立軌跡

4、方程．這是通過(guò)方程去認(rèn)識(shí)軌跡曲線．定義中設(shè)定的常數(shù)2a，|F1F2|=2c，它們之間的變化對(duì)橢圓有什么影響？</p><p>　　生：當(dāng)a=c時(shí)，相應(yīng)的軌跡是線段F1F2．當(dāng)a＜c時(shí)，軌跡不存在．這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系．</p><p>　　師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和”改寫(xiě)為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡

5、會(huì)怎樣？它的方程又是怎樣的呢？</p><p>　　(師生共同做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們把準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)用具拿出來(lái)，一起做實(shí)驗(yàn)．教師把教具掛在黑板上，同時(shí)板書(shū)：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線？邊畫(huà)、邊操作、邊說(shuō)明．)</p><p>　　師：做法是：適當(dāng)選取兩定點(diǎn)F1、F2，將拉鎖拉開(kāi)一段，其中一邊的端點(diǎn)固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2(＜F1F2)，作

6、為動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1和F2距離之差．而后把它固定在F2處．這時(shí)將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸打開(kāi)鉛筆就徐徐畫(huà)出一條曲線；同理可畫(huà)出另一支．如圖2-36．</p><p>　　師：通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？</p><p>　　生：所畫(huà)的曲線不是橢圓，是兩條相同的曲線，只是位置不同．其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是

7、同一常數(shù)的條件畫(huà)圖的．</p><p>　　師：所畫(huà)出圖象與橢圓完全不同，能說(shuō)出屬于哪一類(lèi)曲線嗎？</p><p>　　生：屬于雙曲型曲線．</p><p>　　師：很好！我們把這類(lèi)曲線就叫做雙曲線．我們思考以下幾個(gè)問(wèn)題：</p><p>　　1．|MF1|和|MF2|哪個(gè)大？</p><p>　　生：不一定．當(dāng)點(diǎn)M在

8、雙曲線右支時(shí)，有|MF1|＞|MF2|，當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支時(shí)，|MF1|＜|MF2|．</p><p>　　師：2．點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2距離之差是否就應(yīng)是|MF1|-|MF2|？</p><p>　　生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|．</p><p>　　師：如何表示這兩種情況？</p><p>　　生：若要同時(shí)表示這兩種情況，正確的

9、表示是應(yīng)||MF1|-|MF2||．無(wú)論哪種情況總是成立的．</p><p>　　師：3．點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣？</p><p>　　生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應(yīng)是小于|F1F2|．否則作不出圖形．</p><p>　　在上述討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義，教師板書(shū)課題．</p><

10、;p>　　(學(xué)生試敘述，教師協(xié)助完成．)</p><p><b>　　一、雙曲線的定義</b></p><p>　　平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(a＞0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，這兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距，記作2c(c＞0)．</p><p>　　通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖，

11、得到了雙曲線定義，同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中觀察定義中兩個(gè)常數(shù)間大小關(guān)系對(duì)于動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的影響．激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知的渴望．師生共同歸納：</p><p>　　師：由定義知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，請(qǐng)大家討論以下幾個(gè)問(wèn)題：</p><p>　　(1)當(dāng)0＜a＜c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？</p><p>　　學(xué)

12、生略思考一下，回答出是雙曲線．</p><p>　　(2)當(dāng)a=c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？</p><p>　　分析  若a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如圖2-37所示：</p><p>　　可以看出，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是分別以點(diǎn)F1、F2為端點(diǎn)，方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線．</p><p>　　(3)當(dāng)a＞c

13、＞0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？</p><p>　　由前面歸納已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡不存在．這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)．</p><p>　　二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程</p><p>　　師：現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線的方程．我們可以參照求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程．首先建立直角坐標(biāo)系，即以兩定點(diǎn)連線為x軸，兩定點(diǎn)的垂直平分線為y軸．然后，觀察雙曲線

14、的特征，猜測(cè)雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類(lèi)似之處？(如圖2-38)</p><p>　　當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到x軸上點(diǎn)A1、A2時(shí)，如何求點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)？</p><p>　　生：點(diǎn)A1、A2是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．</p><p>　　所以點(diǎn)A

15、1和A2的坐標(biāo)分別是(-a，0)和(a，0)．</p><p>　　師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．</p><p>　　生：1．建立直角坐標(biāo)系．</p><p>　　2．設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x、y)，|F1F2|=2c，并設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．</p><p>　　3．由兩點(diǎn)間距離

16、公式，得</p><p>　　4．由雙曲線定義，得</p><p>　　|MF1|-|MF2|=±2a，即</p><p><b>　　5．化簡(jiǎn)方程</b></p><p><b>　　兩邊平方，得</b></p><p><b>　　化簡(jiǎn)得：</b

17、></p><p><b>　　兩邊再平方，整理得</b></p><p>　　(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．</p><p>　　(為使方程簡(jiǎn)化，更為對(duì)稱和諧起見(jiàn)．)</p><p>　　由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0．</p><p>　　設(shè)c2-a2

18、=b2(b＞0)，代入上式，得</p><p>　　b2x2-a2y2＝a2b2，</p><p><b>　　也就是</b></p><p>　　師：利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)類(lèi)比地推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它同樣具有方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱，具有和諧美的特點(diǎn)，便于我們今后研究雙曲線的有關(guān)性質(zhì)．這一簡(jiǎn)化的方程稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．</p><

19、;p>　　結(jié)合圖形再一次理解方程中a＞b＞0的條件是不可缺少的．b的選取不僅使方程得到了簡(jiǎn)化、和諧，也有實(shí)際的幾何意義．具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處．</p><p>　　師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫(huà)的圖形上觀察，對(duì)比來(lái)看一看互相間的轉(zhuǎn)化．(圖2-39、圖2-40)</p><p>　　生：從

20、圖形的對(duì)稱來(lái)看，只要交換一下x軸、y軸的名稱，然后逆時(shí)針?lè)D(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．</p><p>　　師：從方程上來(lái)分析，只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程</p><p>　　此方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．</p><p>　　師：如何記憶這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程？</p><p>　

21、　生：雙曲線的方程右邊為1，左邊是兩個(gè)完全平方項(xiàng)，符號(hào)一正一負(fù)，為正的項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為實(shí)軸，焦點(diǎn)在該軸上，且分母為a2．負(fù)項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為虛軸，且分母為b2．</p><p>　　師：用一句話概括“以正負(fù)定實(shí)虛”．</p><p><b>　　三、舉例</b></p><p>　　例1  已知兩點(diǎn)F1(-4，0)和F2(4，0)，曲線

22、上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為6，求曲線方程．</p><p>　　解  由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=4，2a=6，</p><p>　　所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7．</p><p>　　所以，所求的雙曲線方程為</p><p>　　例2  求滿足下列條件的雙曲線方程</p><p>　　1．

23、若a=4，b=3，焦點(diǎn)在x軸上；</p><p>　　解  (1)因?yàn)閍=4，b=3，并且焦點(diǎn)在x軸上，</p><p>　　所以所求的雙曲線方程為</p><p>　　(2)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：</p><p>　　所以代入雙曲線方程得</p><p>　　所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為</p&

24、gt;<p>　　例1和例2可由學(xué)生自行解答，黑板上板演，并對(duì)照檢查對(duì)錯(cuò)．</p><p>　　四、小結(jié)(師生共同參與完成)</p><p><b>　　1．知識(shí)方面</b></p><p>　　雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；方程中的3個(gè)常數(shù)a、b、c間的關(guān)系：c2=a2+b2．</p><p>　　理解

25、“以正負(fù)定實(shí)虛”的意義，會(huì)確定實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)所在位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．</p><p>　　2．在教學(xué)中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美，幾何圖形的對(duì)稱美．</p><p>　　五、作業(yè)：第89頁(yè)習(xí)題七1，2．</p><p><b>　　六、課后思考題</b></p><p>　　2．結(jié)合圖形的演示，試討論||MF1|-

26、|MF2||=2a，在2a趨近于零的過(guò)程中雙曲線的變化趨勢(shì)．</p><p><b>　　設(shè)計(jì)說(shuō)明</b></p><p><b>　　1．關(guān)于教學(xué)目標(biāo)</b></p><p>　　(1)由于雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程是本章的重點(diǎn)之一，因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一．</p><p>　　(2)MM教育

27、方式的基本要求，其課堂教學(xué)要師生共同參與．每個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì)．運(yùn)用教具的演示，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力．對(duì)全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學(xué)目標(biāo)2和3．</p><p><b>　　2．關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)</b></p><p>　　為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，把充分

28、展現(xiàn)雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過(guò)程和知識(shí)形成過(guò)程作為本節(jié)課的重點(diǎn)．</p><p><b>　　3．關(guān)于教學(xué)方法</b></p><p>　　按照MM教育方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用．運(yùn)用問(wèn)題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在開(kāi)放、民主、愉悅和諧的

29、教學(xué)氛圍中獲取新知識(shí)，提高能力，促進(jìn)思維發(fā)展．因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法．</p><p><b>　　4．關(guān)于教學(xué)過(guò)程</b></p><p>　　(1)利用學(xué)生已清楚的知識(shí)，轉(zhuǎn)換條件提出問(wèn)題，通過(guò)自己動(dòng)手和聯(lián)想，為類(lèi)比地探索雙曲線的定義奠定基礎(chǔ)，最后推出雙曲線的定義．</p><p>　　(2)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，揭示科

30、學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律，巧妙地把學(xué)生從舊知識(shí)引向新知識(shí)，使知識(shí)過(guò)渡那么自然，學(xué)生學(xué)起來(lái)不感到困難．體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神．</p><p>　　(3)例題比較簡(jiǎn)單，由學(xué)生自行解答，同時(shí)由學(xué)生板演，在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生合理地思考問(wèn)題，清楚地表達(dá)思想和有條不紊的學(xué)習(xí)習(xí)慣．同時(shí)隨時(shí)注意糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的偏差．</p><p&