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文檔簡(jiǎn)介
1、<p> 圓錐曲線教案 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案</p><p><b> 教學(xué)目標(biāo)</b></p><p> 1.通過教學(xué),使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,理解雙曲線的定義,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過程.</p><p> 2.在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生會(huì)合情猜想,進(jìn)一步提高分析、歸納、推理的能力.
2、</p><p> 3.培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,獨(dú)立思考、勇于探索精神及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.</p><p><b> 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)</b></p><p> 雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其探索推導(dǎo)過程是本課的重點(diǎn).定義中的“差的絕對(duì)值”,a與c的關(guān)系的理解是難點(diǎn).</p><p><b> 教學(xué)過程&l
3、t;/b></p><p> 師:橢圓的定義是什么?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?</p><p> (學(xué)生口述橢圓的兩個(gè)定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,教師利用投影儀把橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圖象放出來.)</p><p> 師:橢圓的兩個(gè)定義雖然都是由軌跡的問題引出來的,但所采用的方法是不同的.定義二是在認(rèn)識(shí)上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來,在掌握了坐標(biāo)法基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)方法建立軌跡
4、方程.這是通過方程去認(rèn)識(shí)軌跡曲線.定義中設(shè)定的常數(shù)2a,|F1F2|=2c,它們之間的變化對(duì)橢圓有什么影響?</p><p> 生:當(dāng)a=c時(shí),相應(yīng)的軌跡是線段F1F2.當(dāng)a<c時(shí),軌跡不存在.這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系.</p><p> 師:如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和”改寫為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差”,那么點(diǎn)的軌跡
5、會(huì)怎樣?它的方程又是怎樣的呢?</p><p> (師生共同做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn),請(qǐng)同學(xué)們把準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)用具拿出來,一起做實(shí)驗(yàn).教師把教具掛在黑板上,同時(shí)板書:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線?邊畫、邊操作、邊說明.)</p><p> 師:做法是:適當(dāng)選取兩定點(diǎn)F1、F2,將拉鎖拉開一段,其中一邊的端點(diǎn)固定在F1處,在另一邊上截取一段AF2(<F1F2),作
6、為動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1和F2距離之差.而后把它固定在F2處.這時(shí)將鉛筆(粉筆)置于P處,于是隨著拉鎖的逐漸打開鉛筆就徐徐畫出一條曲線;同理可畫出另一支.如圖2-36.</p><p> 師:通過這個(gè)實(shí)驗(yàn),你們發(fā)現(xiàn)了什么?</p><p> 生:所畫的曲線不是橢圓,是兩條相同的曲線,只是位置不同.其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是
7、同一常數(shù)的條件畫圖的.</p><p> 師:所畫出圖象與橢圓完全不同,能說出屬于哪一類曲線嗎?</p><p> 生:屬于雙曲型曲線.</p><p> 師:很好!我們把這類曲線就叫做雙曲線.我們思考以下幾個(gè)問題:</p><p> 1.|MF1|和|MF2|哪個(gè)大?</p><p> 生:不一定.當(dāng)點(diǎn)M在
8、雙曲線右支時(shí),有|MF1|>|MF2|,當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支時(shí),|MF1|<|MF2|.</p><p> 師:2.點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2距離之差是否就應(yīng)是|MF1|-|MF2|?</p><p> 生:未必是.也可以是|MF2|-|MF1|.</p><p> 師:如何表示這兩種情況?</p><p> 生:若要同時(shí)表示這兩種情況,正確的
9、表示是應(yīng)||MF1|-|MF2||.無(wú)論哪種情況總是成立的.</p><p> 師:3.點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣?</p><p> 生:由三角形的兩邊之差小于第三邊可知,應(yīng)是小于|F1F2|.否則作不出圖形.</p><p> 在上述討論的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義,教師板書課題.</p><
10、;p> (學(xué)生試敘述,教師協(xié)助完成.)</p><p><b> 一、雙曲線的定義</b></p><p> 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(a>0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),這兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距,記作2c(c>0).</p><p> 通過學(xué)生自己動(dòng)手畫圖,
11、得到了雙曲線定義,同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中觀察定義中兩個(gè)常數(shù)間大小關(guān)系對(duì)于動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的影響.激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知的渴望.師生共同歸納:</p><p> 師:由定義知||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,并設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M,請(qǐng)大家討論以下幾個(gè)問題:</p><p> (1)當(dāng)0<a<c時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么?</p><p> 學(xué)
12、生略思考一下,回答出是雙曲線.</p><p> (2)當(dāng)a=c時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么?</p><p> 分析 若a=c,也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c,如圖2-37所示:</p><p> 可以看出,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是分別以點(diǎn)F1、F2為端點(diǎn),方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線.</p><p> (3)當(dāng)a>c
13、>0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么?</p><p> 由前面歸納已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡不存在.這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì).</p><p> 二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程</p><p> 師:現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以參照求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.首先建立直角坐標(biāo)系,即以兩定點(diǎn)連線為x軸,兩定點(diǎn)的垂直平分線為y軸.然后,觀察雙曲線
14、的特征,猜測(cè)雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似之處?(如圖2-38)</p><p> 當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到x軸上點(diǎn)A1、A2時(shí),如何求點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)?</p><p> 生:點(diǎn)A1、A2是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a.</p><p> 所以點(diǎn)A
15、1和A2的坐標(biāo)分別是(-a,0)和(a,0).</p><p> 師:請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.</p><p> 生:1.建立直角坐標(biāo)系.</p><p> 2.設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x、y),|F1F2|=2c,并設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).</p><p> 3.由兩點(diǎn)間距離
16、公式,得</p><p> 4.由雙曲線定義,得</p><p> |MF1|-|MF2|=±2a,即</p><p><b> 5.化簡(jiǎn)方程</b></p><p><b> 兩邊平方,得</b></p><p><b> 化簡(jiǎn)得:</b
17、></p><p><b> 兩邊再平方,整理得</b></p><p> (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).</p><p> (為使方程簡(jiǎn)化,更為對(duì)稱和諧起見.)</p><p> 由2c-2a>0,即c>a,所以c2-a2>0.</p><p> 設(shè)c2-a2
18、=b2(b>0),代入上式,得</p><p> b2x2-a2y2=a2b2,</p><p><b> 也就是</b></p><p> 師:利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)類比地推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它同樣具有方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱,具有和諧美的特點(diǎn),便于我們今后研究雙曲線的有關(guān)性質(zhì).這一簡(jiǎn)化的方程稱為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.</p><
19、;p> 結(jié)合圖形再一次理解方程中a>b>0的條件是不可缺少的.b的選取不僅使方程得到了簡(jiǎn)化、和諧,也有實(shí)際的幾何意義.具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處.</p><p> 師:與橢圓方程一樣,如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,這時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式又怎樣呢?我們可以從所畫的圖形上觀察,對(duì)比來看一看互相間的轉(zhuǎn)化.(圖2-39、圖2-40)</p><p> 生:從
20、圖形的對(duì)稱來看,只要交換一下x軸、y軸的名稱,然后逆時(shí)針翻轉(zhuǎn)90°使之y軸向上、下,x軸水平放置即可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.</p><p> 師:從方程上來分析,只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程</p><p> 此方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.</p><p> 師:如何記憶這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程?</p><p>
21、 生:雙曲線的方程右邊為1,左邊是兩個(gè)完全平方項(xiàng),符號(hào)一正一負(fù),為正的項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為實(shí)軸,焦點(diǎn)在該軸上,且分母為a2.負(fù)項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為虛軸,且分母為b2.</p><p> 師:用一句話概括“以正負(fù)定實(shí)虛”.</p><p><b> 三、舉例</b></p><p> 例1 已知兩點(diǎn)F1(-4,0)和F2(4,0),曲線
22、上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為6,求曲線方程.</p><p> 解 由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=4,2a=6,</p><p> 所以a=3,而b2=c2-a2=16-9=7.</p><p> 所以,所求的雙曲線方程為</p><p> 例2 求滿足下列條件的雙曲線方程</p><p> 1.
23、若a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸上;</p><p> 解 (1)因?yàn)閍=4,b=3,并且焦點(diǎn)在x軸上,</p><p> 所以所求的雙曲線方程為</p><p> (2)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:</p><p> 所以代入雙曲線方程得</p><p> 所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為</p&
24、gt;<p> 例1和例2可由學(xué)生自行解答,黑板上板演,并對(duì)照檢查對(duì)錯(cuò).</p><p> 四、小結(jié)(師生共同參與完成)</p><p><b> 1.知識(shí)方面</b></p><p> 雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;方程中的3個(gè)常數(shù)a、b、c間的關(guān)系:c2=a2+b2.</p><p> 理解
25、“以正負(fù)定實(shí)虛”的意義,會(huì)確定實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)所在位置,會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.</p><p> 2.在教學(xué)中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美,幾何圖形的對(duì)稱美.</p><p> 五、作業(yè):第89頁(yè)習(xí)題七1,2.</p><p><b> 六、課后思考題</b></p><p> 2.結(jié)合圖形的演示,試討論||MF1|-
26、|MF2||=2a,在2a趨近于零的過程中雙曲線的變化趨勢(shì).</p><p><b> 設(shè)計(jì)說明</b></p><p><b> 1.關(guān)于教學(xué)目標(biāo)</b></p><p> (1)由于雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程是本章的重點(diǎn)之一,因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一.</p><p> (2)MM教育
27、方式的基本要求,其課堂教學(xué)要師生共同參與.每個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境,一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì).運(yùn)用教具的演示,增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性,有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力.對(duì)全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用,待此制定了教學(xué)目標(biāo)2和3.</p><p><b> 2.關(guān)于教學(xué)重點(diǎn)</b></p><p> 為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),把充分
28、展現(xiàn)雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識(shí)形成過程作為本節(jié)課的重點(diǎn).</p><p><b> 3.關(guān)于教學(xué)方法</b></p><p> 按照MM教育方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”,在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.運(yùn)用問題性,給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境,一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì),使學(xué)生在開放、民主、愉悅和諧的
29、教學(xué)氛圍中獲取新知識(shí),提高能力,促進(jìn)思維發(fā)展.因此,采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法.</p><p><b> 4.關(guān)于教學(xué)過程</b></p><p> (1)利用學(xué)生已清楚的知識(shí),轉(zhuǎn)換條件提出問題,通過自己動(dòng)手和聯(lián)想,為類比地探索雙曲線的定義奠定基礎(chǔ),最后推出雙曲線的定義.</p><p> (2)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中,揭示科
30、學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律,巧妙地把學(xué)生從舊知識(shí)引向新知識(shí),使知識(shí)過渡那么自然,學(xué)生學(xué)起來不感到困難.體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神.</p><p> (3)例題比較簡(jiǎn)單,由學(xué)生自行解答,同時(shí)由學(xué)生板演,在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生合理地思考問題,清楚地表達(dá)思想和有條不紊的學(xué)習(xí)習(xí)慣.同時(shí)隨時(shí)注意糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的偏差.</p><p&
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