17.2 第2課時(shí) 勾股定理的逆定理的應(yīng)用-(6071)

1、第 2 課時(shí) 課時(shí) 勾股定理的逆定理的應(yīng)用 勾股定理的逆定理的應(yīng)用1．進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理；(重點(diǎn))2．靈活運(yùn)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)望號(hào)”“海天號(hào)”兩艘輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定的方向航行，“遠(yuǎn)望號(hào)”每小時(shí)航行 16 海里，“海天號(hào)”每小時(shí)航行 12 海里，它們離開港口 1 個(gè)半小時(shí)后相距 30 海里，如果知道“遠(yuǎn)望號(hào)”沿東北方向航行，能知道“海天號(hào)”沿哪個(gè)方向航

2、行嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：勾股定理的逆定理的應(yīng)用【類型一】 運(yùn)用勾股定理的逆定理求角度如圖，已知點(diǎn) P 是等邊△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．解析：將△BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連接 EP，判斷△APE 為直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB 的度數(shù)．解：∵△ABC 為等邊三角形，∴BA＝BC.可將△BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得△B

3、EA，連 EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE 為等邊三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE 為直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.方法總結(jié)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造△A

4、PE 為直角三角形．【類型二】 運(yùn)用勾股定理的逆定理求邊長(zhǎng)在△ABC 中，D 為 BC 邊上的點(diǎn)，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求 BD 的長(zhǎng)．解析：根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△ACD 為直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在 Rt△ABD 中利用勾股定理可得出 BD 的長(zhǎng)度．解：∵在△ADC 中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝

5、90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt△ADB 中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝ ＝5，∴BD 的長(zhǎng)為 5. AB2－AD2方法總結(jié)：解題時(shí)可先通過(guò)勾股定理的逆定理證明一個(gè)三角形是直角三角形，然后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后求解，這種方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)直角三角形的圖形中．【類型三】 勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn) AB＝DC＝8m

6、，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解析：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，運(yùn)用直角三角形的判別條件，驗(yàn)證它是否為直角三角形．解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題，一般是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)先運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是

7、直角三角形，然后再作進(jìn)一步解答．【類型四】 運(yùn)用勾股定理的逆定理解決方位角問(wèn)題如圖，南北向 MN 為我國(guó)領(lǐng)海線，即 MN 以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，上午 9 時(shí) 50 分，我國(guó)反走私 A 艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇以 13 海里/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海開來(lái)，便立即通知正在 MN 線上巡邏的我國(guó)反走私艇 B 密切注意．反走私艇 A 和走私艇 C 的距離是 13 海里，A、B 兩艇的距離是 5 海里；反走私艇 B 測(cè)得距離 C 艇 12 海里，

8、若走私艇 C 的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)候進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的時(shí)間，即可得出走私船何時(shí)能進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．解題的關(guān)鍵是得出走私船所走的路程，根據(jù)題意，CE 即為走私船所走的路程．由題意可知，△ABE 和△ABC 均為直角三角形，可分別解這兩個(gè)直角三角形即可得出．解：設(shè) MN 與 AC 相交于 E，則∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC

9、 為直角三角形，且∠ABC＝90°.∵M(jìn)N⊥CE，∴走私艇 C 進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短距離是 CE.由 S△ABC＝ AB·BC＝1212AC·BE，得 BE＝ 海里．由 CE2＋BE2＝6013122，得 CE＝ 海里，∴ ÷13＝1441314413144169≈0.85(小時(shí))＝51(分鐘)，9 時(shí) 50 分＋51 分＝10 時(shí) 41 分．答：走私艇 C 最早在 10 時(shí) 41 分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．

10、方法總結(jié)：用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立合適的數(shù)學(xué)模型，注意提煉題干中的有效信息，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言．三、板書設(shè)計(jì)1．利用勾股定理逆定理求角的度數(shù)2．利用勾股定理逆定理求線段的長(zhǎng)3．利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題在本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)中，盡量給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生以平等的身份參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，教師要幫助、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，這樣既鍛煉了學(xué)生的實(shí)踐、觀察能力，又在教學(xué)中滲透了人文和探究精神，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用