幾類(lèi)二階離散哈密頓系統(tǒng)同宿軌和異宿軌的存在性.pdf

1、關(guān)于Hamilton系統(tǒng)同宿軌的研究可以追溯到Poincaré關(guān)于天體力學(xué)的工作[51]，Poincaré發(fā)現(xiàn)如果系統(tǒng)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交，那么這個(gè)系統(tǒng)就會(huì)有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為并且含有無(wú)限多條同宿軌.之后，Birkhoff和Smale的工作深刻揭示了Poincaré的發(fā)現(xiàn)中所蘊(yùn)含的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，也就是，一個(gè)具有橫截同宿軌的系統(tǒng)是混沌的[62]。因此，在非線性動(dòng)力學(xué)的研究中，一個(gè)非常有意思的問(wèn)題是在什么條件下我們可以證明一個(gè)

2、系統(tǒng)具有橫截同宿軌.著名的Melnikov方法對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了部分的回答.一般說(shuō)來(lái)，為了考察一個(gè)系統(tǒng)是否具有橫截同宿軌，我們首先需要證明該系統(tǒng)中有同宿軌，其次再來(lái)討論這個(gè)同宿軌的橫截性。因此，研究一個(gè)系統(tǒng)的同宿軌或者異宿軌的存在性問(wèn)題對(duì)于理解一個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為是非常重要的一步。
　　自從Rabinowitz在文獻(xiàn)[53]中使用變分方法研究一類(lèi)一階連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的周期軌存在性問(wèn)題的開(kāi)創(chuàng)性工作之后，越來(lái)越多的研究者發(fā)現(xiàn)

3、Hamilton系統(tǒng)具有某種變分結(jié)構(gòu)，而這種變分結(jié)構(gòu)在研究連續(xù)系統(tǒng)周期軌，同宿軌或者異宿軌的存在性問(wèn)題上起到了非常重要的作用.而關(guān)于離散Hamilton系統(tǒng)相關(guān)問(wèn)題研究開(kāi)始不久，許多重要而有意思的問(wèn)題尚待解決。利用變分方法研究同宿軌或者異宿軌的存在性，我們通常需要在一個(gè)合適的Hilbert空間上面構(gòu)造泛函，而這個(gè)泛函的非零臨界點(diǎn)通常是我們所關(guān)心系統(tǒng)的同宿軌或者異宿軌.我們把尋找特殊軌道的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了尋找相應(yīng)泛函非零臨界點(diǎn)的問(wèn)題，而變分方

4、法在尋找臨界點(diǎn)方面常常很有效.關(guān)于變分法方面的專(zhuān)著，讀者可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[54，70]。連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的同宿軌存在性的研究取得了許多重要進(jìn)展.Rabinowitz使用周期軌來(lái)逼近同宿軌的方法證明了一類(lèi)二階微分方程的同宿軌的存在性[56].Coti-Zelati和Rabinowitz討論了一類(lèi)在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)滿(mǎn)足超二次條件的一類(lèi)二階Hamilton系統(tǒng)的同宿軌存在性問(wèn)題[20].在文獻(xiàn)[65]中，Séré引入多重碰撞解，并使用變分和

5、Bernoulli轉(zhuǎn)移的方法來(lái)刻畫(huà)系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.丁彥恒引入算子譜理論方面的工具研究了幾類(lèi)滿(mǎn)足超二次或者次二次的二階連續(xù)系統(tǒng)的同宿軌的存在性問(wèn)題[27]。連續(xù)系統(tǒng)異宿軌的存在性研究也得到了好多重要結(jié)果.在文獻(xiàn)[30]中，對(duì)一類(lèi)滿(mǎn)足一個(gè)空間變量是周期的另一個(gè)空間變量是超線性假設(shè)的方程，F(xiàn)elmer討論了該系統(tǒng)異宿軌的存在性.在文獻(xiàn)[9]中，Bertotti和Montecchiari對(duì)一類(lèi)二階幾乎周期系統(tǒng)證明了有無(wú)限多個(gè)異宿軌連接兩個(gè)

6、退化的平衡點(diǎn).在文獻(xiàn)[13]中，Caldiroli和Jeanjean得到了存在一條異宿軌連接原點(diǎn)和一條極小的不可收縮周期軌的結(jié)論.在文獻(xiàn)[55]中，Rabinowitz討論了一類(lèi)二階Hamilton系統(tǒng)的周期和異宿軌的存在性問(wèn)題.Rabinowitz也得到了一些關(guān)于鐘擺方程中異宿軌的存在性方面的結(jié)果[60].Coti-Zelati和Rabinowitz討論了一類(lèi)連接勢(shì)能函數(shù)中的兩個(gè)臨界點(diǎn)的同宿軌的存在性問(wèn)題，其中這兩個(gè)臨界點(diǎn)處在不同的能

7、量層[21]。
　　對(duì)Hamilton系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，盡管變分方法在尋找同宿軌方面非常有效，但如何證明該同宿軌的橫截性仍然是一個(gè)困難的問(wèn)題.因此，研究者引入“多重碰撞解”來(lái)研究Hamilton系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.多重碰撞解的存在性問(wèn)題，最早開(kāi)始于Séré在一類(lèi)一階連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的工作[65].之后，在很多其它微分系統(tǒng)中，多重碰撞解的存在性被證明.比如，一類(lèi)滿(mǎn)足退化條件的方程[59]，阻尼系統(tǒng)[10]，能量函數(shù)是變號(hào)的系統(tǒng)[1

8、4].關(guān)于差分方程方面的多重碰撞解的研究剛剛開(kāi)始，關(guān)于差分方程同宿軌的多重碰撞解方面的研究非常少。要證明多重碰撞解的存在性通常需要完成下面幾步.首先，我們使用變分方法和極小極大方法找到一族非平凡的同宿軌，并且我們把這類(lèi)同宿軌看作是“單次碰撞解”.然后，我們利用變分技巧來(lái)證明多重碰撞解的存在性，這類(lèi)解在充分分開(kāi)的幾個(gè)時(shí)間段內(nèi)與我們找到的單次碰撞解的距離非常近.在研究多重碰撞解的存在性中一個(gè)重要的假設(shè)是我們所考察泛函的臨界點(diǎn)具有某種孤立性.

9、這種孤立性的假設(shè)可以看作是比橫截性條件稍微弱一些的假設(shè)。對(duì)于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模和仿真對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的研究起到了非常重要的作用.實(shí)際的計(jì)算是不能直接處理連續(xù)系統(tǒng)的，研究者通常都需要把連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的差分系統(tǒng)以便通過(guò)仿真來(lái)觀察系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.而且由于我們關(guān)心的問(wèn)題不同，通常會(huì)給出不同形式的差分方程.另外，差分方程可以應(yīng)用到物理，化學(xué)，工程等研究領(lǐng)域中去.因此，差分方程的研究逐漸變得重要起來(lái).關(guān)于離散Hamilton系統(tǒng)的研究，可以參見(jiàn)文

10、獻(xiàn)[1].最近，許多關(guān)于離散Hamilton系統(tǒng)的周期軌，同宿軌和異宿軌存在性方面的重要結(jié)果被得到了[33,35,41,45,46,86,88]。最早利用變分方法研究差分方程的結(jié)果是文獻(xiàn)[33]中的工作.郭志明和庾建設(shè)研究了如下的二階純量差分方程的周期解的存在性△2x(t-1)+f(t，x(t))=0.許多研究者討論了如下類(lèi)型的差分方程的周期軌，同宿軌和異宿軌的存在性的問(wèn)題△(p(t)△x(t-1))-L(t)x(t)=f(t,x(t)

11、),x(t)∈Rn，t∈Z,這個(gè)方程可以通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q變成等價(jià)的離散Hamilton系統(tǒng).在文獻(xiàn)[46]中，馬滿(mǎn)軍和郭志明在p(t)，L(t)和f(t，x)關(guān)于時(shí)間變量t都是周期函數(shù)的假設(shè)下，研究了純量差分方程同宿軌的存在性問(wèn)題.在文獻(xiàn)[45]中，在沒(méi)有p(t)和L(t)是周期函數(shù)的假定下，假設(shè)f(t，x)在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處是超二次的，或者f（t,x）關(guān)于x是奇函數(shù)，馬滿(mǎn)軍和郭志明得到差分方程存在非平凡的同宿軌的結(jié)論.在文獻(xiàn)[41]中

12、，林曉艷和唐先華在對(duì)所有的t∈Z，L(t)是正定矩陣且f（t,z）滿(mǎn)足更一般的假設(shè)條件下證明差分方程有無(wú)限多條非平凡的同宿軌。離散系統(tǒng)的異宿軌研究剛剛起步，有許多有趣的問(wèn)題尚未解決.異宿軌的存在性是通過(guò)研究特定函數(shù)空間上的使得能量達(dá)到極小的元素而得到的.在文獻(xiàn)[79]中，肖華峰和庾建設(shè)考察如下鐘擺方程的異宿軌存在性問(wèn)題:△2x(t-1)+asin(x(t))=0,其中a∈R是參數(shù)，t∈Z，x(t)∈R.在文獻(xiàn)[80，88]中，肖華峰等人

13、以及張浩和李志祥研究如下差分方程的異宿軌的存在性問(wèn)題:△2x(t-1）+V'x（x（t））=0，其中x(t)∈Rn，t∈Z.
　　本文主要討論三個(gè)方面的問(wèn)題:一是討論了幾類(lèi)二階離散哈密頓系統(tǒng)同宿軌的存在性問(wèn)題;二是討論了一類(lèi)二階離散哈密頓系統(tǒng)同宿軌的多重碰撞解;三是討論了一類(lèi)二階離散哈密頓系統(tǒng)異宿軌的存在性問(wèn)題。針對(duì)上述三個(gè)問(wèn)題，本文分為四章。第一章是準(zhǔn)備知識(shí)，介紹變分方法的基本概念和方法以及線性算子譜理論的相關(guān)知識(shí)。第二章主要研

14、究了下面的二階離散哈密頓系統(tǒng)△2x(t-1)-L(t)x(t)+V'x(t,x(t))=0,t∈Z，（*）其中△x(t-1)=x(t)-x(t-1)，△2x(t-1)=△（△x（t-1））。.對(duì)任意t∈Z，L(t)是一個(gè)n×n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，V(t，·)∈C1(Rn，R)且V'x(t，0)≡0.我們的結(jié)果可以看作丁彥恒的結(jié)果的離散對(duì)應(yīng)[27].之前關(guān)于差分方程同宿軌存在性的方面的工作通常假設(shè)對(duì)所有的t∈Z，L(t)是正定矩陣.在第二章中，我

15、們利用差分算子譜理論來(lái)減弱這個(gè)假設(shè).我們假設(shè)V(t，·)滿(mǎn)足超二次或者次二次假設(shè).我們不需要假設(shè)L和V是關(guān)于時(shí)間的周期函數(shù)，以及對(duì)所有的t∈Z，L(t)都是正定矩陣，我們證明了該差分方程至少存在一條非平凡的同宿軌.進(jìn)一步，如果V(t，x)是超二次的并且關(guān)于x是偶函數(shù)，則該差分方程存在無(wú)限多條非平凡的同宿軌.為了說(shuō)明所得到結(jié)果，我們給出了兩個(gè)具體例子。在第三章中，我們研究二階離散哈密頓系統(tǒng)（*）.我們假設(shè)V(t，·)是變號(hào)函數(shù)，L和V是周

16、期函數(shù).我們首先證明同宿軌的存在性.然后，假設(shè)臨界點(diǎn)滿(mǎn)足孤立性條件，我們研究了多重碰撞解的存在性.在差分方程方面，多重碰撞解的研究剛剛開(kāi)始.據(jù)我們所知，我們還沒(méi)有見(jiàn)到相關(guān)文獻(xiàn)討論差分方程同宿軌的多重碰撞解的問(wèn)題.我們的結(jié)果可以看作Caldiroli和Montecchiari的結(jié)果的離散對(duì)應(yīng)[14]。在第四章中，我們研究下面一類(lèi)二階離散哈密頓系統(tǒng)異宿軌的存在性問(wèn)題:△2x(t-1)-μL(t)x(t)+W'x(t,x(t)，δ)=0,t∈

17、Z,其中W(t，x，δ)=a(t)V(x，δ），x∈Rn;△x(t-1)=x(t)-x（t-1），△2x(t-1)=△(△x(t-1));對(duì)任意t∈Z，L(t)是正定矩陣;a(·):Z→R是周期函數(shù);V(·，δ)∈C2(Rn，R)，并且V(x，·)是連續(xù)的;μ∈[0，1]和δ∈[0，δ0]是參數(shù)且δ0＞0.在一定的假設(shè)條件下，我們得到若δ和μ充分小，則存在一條異宿軌連接函數(shù)V(x，δ)的兩個(gè)具有不同臨界值的臨界點(diǎn)。當(dāng)μ=0時(shí)，我們的結(jié)果