哈密頓系統(tǒng)中混沌的幾何判據(jù).pdf

1、用幾何方法研究哈密頓系統(tǒng)的混沌是近二十年來(lái)出現(xiàn)的新領(lǐng)域。本論文研究了幾類典型的哈密頓系統(tǒng)，并給出了一系列哈密頓系統(tǒng)混沌的幾何判據(jù)，揭示了哈密頓系統(tǒng)內(nèi)在的幾何性質(zhì)與其混沌行為的本質(zhì)聯(lián)系。
　　第二章我們推廣了L.Horwitz等人在2007年提出的判斷混沌的幾何方法，使得該方法不僅適用于標(biāo)準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)，還適用于勢(shì)能與動(dòng)量弱耦合的情況。提出了平均不穩(wěn)定比（MUR）的概念，并對(duì)Dicke模型的經(jīng)典系統(tǒng)做了計(jì)算。推廣的方法MUR不僅和Po

2、incaré截面方法的結(jié)果吻合得很好，而且在數(shù)值穩(wěn)定性上優(yōu)于人們熟知的最大李雅普諾夫指數(shù)方法。
　　第三章主要研究了二維哈密頓系統(tǒng)勢(shì)能面、等勢(shì)線與混沌之間的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)勢(shì)能面的凹陷區(qū)域是穩(wěn)定區(qū)域，凸起區(qū)域和既不凸也不凹的區(qū)域都是不穩(wěn)定的。另外還證明了如果系統(tǒng)的等勢(shì)線有凹向平衡點(diǎn)的部分，系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。以此為依據(jù)我們提出了判斷二維哈密頓系統(tǒng)混沌的平均凸指標(biāo)(MCI)和凹比率(CR)。我們對(duì)典型的混沌模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)MCI

3、、CR和Poincaré截面、L.Horwitz等人的新幾何方法的數(shù)值結(jié)果完全一致。MCI和CR直觀簡(jiǎn)潔，為混沌的幾何研究方法提供了新觀點(diǎn)和新內(nèi)容。
　　第四章研究了Dicke模型中混沌與幾何相位之間的聯(lián)系。當(dāng)光場(chǎng)和原子的耦合強(qiáng)度增大至臨界點(diǎn)時(shí)，Dicke系統(tǒng)的能級(jí)間距概率分布從泊松分布變?yōu)閃igner分布，而Wigner分布被視為量子混沌的標(biāo)志，這說(shuō)明Dicke量子系統(tǒng)在臨界點(diǎn)開始出現(xiàn)量子混沌;與Dicke量子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)