多面體及其鏈環(huán)對偶性質的研究.pdf

1、凸多面體是幾何學的一個古老而重要的研究對象，它與人們的生活密切相關。多面體鏈環(huán)是將古老的凸多面體結構和重要的紐結理論相結合，在解決近年來實驗室中發(fā)現(xiàn)的病毒結構和合成的超分子結構的理論研究中，得到的理論成果。多面體鏈環(huán)是由多個環(huán)相互嵌套成的具有多面體形狀的一種拓撲幾何結構。本論文基于凸多面體的理論成果，從不同問題入手進行了兩大方面的研究： 一：對偶是幾何學的一個重要概念和操作，多面體鏈環(huán)作為在多面體結構上構造的新型結構，是否存在對

2、偶性，如何定義，如何操作，是關于多面體鏈環(huán)的一個重要的基礎性研究。更進一步，多面體鏈環(huán)是鏈環(huán)結構的特例，紐結與鏈環(huán)一直是數(shù)學研究的熱點，面對龐大而復雜的紐結表，如何分類，它們之間存在怎樣的聯(lián)系？我們將對偶理論引入紐結理論，給出對偶鏈環(huán)的定義和構造方法，為紐結的分類提供依據(jù)，同時這一構造方法的提出，為紐結超分子的合成提供新的思路，對實驗的指導也具有重要的意義。 1.在圖論中間圖理論和拓撲理論的基礎上，提出對偶多面體鏈環(huán)的定義。以五

3、個柏拉圖多面體為例，運用“三交叉--雙線覆蓋”的方法構造四面體鏈環(huán)，六面體鏈環(huán)和十二面體鏈環(huán)，利用“球面游走”的拓撲學方法，得到相應的對偶多面體鏈環(huán)。結果顯示，四面體鏈環(huán)是自對偶結構，六面體鏈環(huán)和八面體鏈環(huán)，十二面體和二十面體鏈環(huán)互為對偶。從手性角度考慮，對偶變換具有手性保持的特征，十個多面體鏈環(huán)分為六組對偶多面體鏈環(huán)。從構型角度考慮，四面體鏈環(huán)的自對偶是“平凡”的，六面體鏈環(huán)和八面體鏈環(huán)，十二面體和二十面體鏈環(huán)的對偶是“非平凡”的。這

4、一研究說明多面體鏈環(huán)具有對偶性，其對偶變換是拓撲的。 2.基于圖論中反轉中間圖的方法和紐結理論中的纏繞理論，我們提出了構建對偶鏈環(huán)的新方法。這一方法定義了兩種有向4-度平面圖：Ge和Go，分別用E-tangles和O-tangles覆蓋兩種有向4-度平面圖的頂點。結果得到兩種對偶鏈環(huán)：E-dual links和O-dual links，它們具有許多不同的拓撲特征，特別是它們的手性規(guī)則。研究表明，通過有向4-度平面圖和纏繞可以構建

5、得到對偶鏈環(huán)。這一研究提出了對偶鏈環(huán)的定義及其構建的方法。對偶鏈環(huán)為鏈環(huán)的研究提供了新的思路，這一構建方法可以被用于指導手性分子的合成。 二：病毒是比任何細菌都小的感染性遺傳物質，介于生命與非生命之間的一類無細胞結構的生物，絕大多數(shù)病毒的衣殼蛋白裝配成二十面體對稱的結構，“準等價”原理是解決嚴格遵從二十面體對稱性的病毒衣殼幾何特征的有效而成熟的方法。但是隨著研究手段的不斷發(fā)展，更多的病毒結構被發(fā)現(xiàn)，它們的農(nóng)殼結構違背準等價原理。

6、我們以這些奇特結構為研究對象，找到它們的幾何模型，補充多面體結構，為病毒研究提供理論指導。 乳多空病毒和多瘤病毒的72個五聚體的衣殼結構違背Caspar-Klug(CK)“準等價”原理。而且，72個五邊形的球面包裹問題是一個有待解決的數(shù)學難題。我們在十二面體框架的基礎上，利用“球面拉伸”的方法，得到新的具有二十面體對稱性，72個五邊形構造的的多面體結構。新型多面體結構為72個五聚體的病毒衣殼結構的模擬提出新的理論，為五邊形排列問