四元數(shù)M-J集的構造及其分形結構的研究.pdf

1、Mandelbrot集(以下簡稱M集)和Julia集是分形發(fā)生學中的經(jīng)典集合。借助于計算機的運算和模擬手段，人們對M集和Julia集進行了大量的分析和研究，實現(xiàn)了對動力系統(tǒng)的許多構想，同時其研究結果還涉及交叉發(fā)展的諸多學科領域，如Klein群理論、擬共形映照理論、Teichmüller空間理論、拓撲學、復分析、計算方法、遍歷性理論和符號動力學等。 目前高維分形是分形領域中研究的一個熱點，但是高維分形因高維空間的復雜性和圖像顯示的

2、困難性還有很多問題亟待探討。本文構造了對四元數(shù)映射f：z←zα+c(α∈Z)的廣義M集和Julia集，并對其特性進行了深入的研究，探討了四元數(shù)廣義M-J集的裂變演化規(guī)律。 本文利用n維參數(shù)L系統(tǒng)描述了超復數(shù)空間廣義M集和Julia集，給出了描述算法和實驗所得圖形，并對四元數(shù)廣義M-J集的動力學特征進行了理論上的分析和探討。本文研究發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)廣義M集的特殊拓撲結構以及四元數(shù)廣義Julia集的參數(shù)不變性，推廣了Bogush的相關結

3、論。實驗結果表明，n維參數(shù)L系統(tǒng)字母表較為簡潔，包含信息量大，可以有效的描述諸如廣義M-J集和四元數(shù)廣義M-J集的分形集。 本文繪制了四元數(shù)廣義M-J集的三維分形圖，并采用逃逸時間算法或Lyapunov指數(shù)法與周期點查找法相結合，構造了四元數(shù)廣義M-J集的周期域。計算了四元數(shù)M集的周期域的邊界條件，并從理論上對四元數(shù)廣義M-J集的動力學特征進行了分析和探討。通過在四元數(shù)M集取點構造四元數(shù)Julia集，定性建立了四元數(shù)M集上點的坐

4、標與四元數(shù)Julia集整體結構之間的對應關系。 采用逃逸時間算法與周期點查找結合法，構造了四元數(shù)映射f：z←z2+c的多臨界點M集，探索了多臨界點情況下四元數(shù)M集的拓撲結構和裂變演化規(guī)律，計算了四元數(shù)M集的周期域的中心位置和邊界條件。提出了改進的逃逸時間算法，采用該算法構造四元數(shù)廣義M集可以觀察到，周期域中心點的分布隨臨界點不同產(chǎn)生了遷移甚至分化。通過構造分岔圖和計算M集的盒維數(shù)，討論了不同臨界點對M集的影響。研究結果表明，四元

5、數(shù)映射f：z←z2+c的M集由所有臨界點決定的四元數(shù)M集的并集組成。 構造了受動態(tài)噪聲和輸出噪聲擾動的四元數(shù)M集，并分析了噪聲擾動下M集的拓撲結構演變規(guī)律。通過構造周期域和分岔圖觀察了噪聲對M集的影響。研究結果表明，加性動態(tài)噪聲并沒有從本質上改變四元數(shù)M集的結構，噪聲使得M集的周期穩(wěn)定域產(chǎn)生了偏移。乘性動態(tài)噪聲使得M集的穩(wěn)定域產(chǎn)生了收縮，而收縮的比例是由噪聲的強度決定的。另外，受干擾的M集始終相對實軸保持著對稱。輸出噪聲并沒有改