Clifford分析中全純Cliffordian函數的性質及其邊值問題.pdf

1、W.K.Clifford將高維空間中的幾何結構和代數理論結合起來，創(chuàng)立了一種幾何代數―Clifford代數.Clifford代數是一個可結合但不可交換的代數結構.Clifford分析就是在Clifford代數上進行的經典函數理論分析.它是對實分析、復分析、四元數分析等向高維空間的推廣.作為一個活躍的數學分支，它在數學以及其它學科的各個領域都具有重要的理論和應用價值.例如: 在偏微分方程、奇異積分方程和廣義函數理論中，研究Cauchy型積

2、分是解決各類邊值問題的重要基礎.另外，它還被廣泛地應用于彈性力學、流體力學、機器人學、計算生物學、化學、計算機科學等不同現代科技領域.N維歐式空間中Dirac算子D=∑n I=1 ei (e)/(e) xi的引入及其零解正則函數的出現是推進Clifford分析發(fā)展的重要里程碑.
　　 對照單復分析中全純函數的經典內容，國內外許多學者進行了大量研究，如: 正則函數的Cauchy積分公式、正則函數的邊值特性、正則函數的級數展開式、M

3、orera定理、Riemann邊值問題等.而后，H.Leutwiler等對Dirac算子的修正促進了Clifford空間中不同函數類的推廣.從而，相繼出現的超正則函數、超調和函數、k正則函數、k超正則函數等新的函數類大大豐富了Clifford分析的研究內容.
　　 在Clifford分析中，偏微分方程D△mf(x)=0 (或: f(x)D△m=0)的解，稱為全純Cliffordian函數，是對正則函數的一種新型推廣.正則函數一定

4、是全純Cliffordian函數，反之未必成立.如: xn為全純Cliffordian函數和超正則函數，但不是正則函數.但是我們從其定義容易看到，將Laplace算子至多m次作用到全純Cliffordian函數后就能轉化為正則函數.因此，作為一種更為廣泛的函數空間，它進一步拓寬了人們在Clifford代數上實復Clifford分析的研究視野和發(fā)展方向.
　　 本文共分四部分:
　　 第一章給出了相關預備知識、一些主要引理

5、和一個球坐標變換，并且證得了兩個不等式估計，為后面的一些積分估計提供了基礎.首先我們介紹了實Clifford代數R0;2m+1上的偏微分方程D△mf(x)=0，它的解即為全純Clifffordian函數，以及全純Cliffordian函數的積分表示式的核函數及其性質.然后給出了全純Cliffordian函數在有界域上的積分表示式和Plemelj公式，為本文研究這類函數在無界域上的性質奠定了基礎.
　　 第二章給出了全純Cliff

6、ordian函數的一些簡單性質.首先我們指出全純Cliffordian函數空間構成一右R0;2m+1模，但非左R0;2m+1模.其次我們借用黃沙老師第一類擬置換的手法從正則函數的角度給出了全純Cliffordian函數的兩個等價條件，從而不僅簡化了我們對于全純Cliffordian函數的判別，同時也建立了正則函數與全純Cliffordian函數之間的聯系.
　　 最后討論了定義于R2m+2中有界域Ω取值于Clifford代數R0

7、;2m+1的2m+1次連續(xù)可微函數的開拓定理.這里應用有界域上的Cauchy積分公式和Plemelj公式以及一些技巧經過計算可以證得定理.
　　 第三章，我們分別介紹了定義于R2m+2中的無界域U取值于Clifford代數R0;2m+1的2m+1次連續(xù)可微函數的Cauchy型積分及其Cauchy主值與Plemelj公式，這兩部分和經典全純函數理論類似，堪稱全純函數理論的基石.它們是討論開拓定理和邊值問題的重要基礎.首先我們定義了

8、全純Cliffordian函數的Cauchy型積分及其Cauchy主值，并證明了當這個Cauchy型積分定義在區(qū)域邊界上時在Cauchy主值意義下收斂.這里我們將無界積分區(qū)域U的邊界(e)U分成有界和無界兩部分來分別討論，在處理無界部分時，我們對這個積分的Cauchy核函數部分與密度函數部分進行了巧妙估值和增設條件，并類似無界域上處理正則函數的方法證得了在Cauchy主值意義下的積分收斂.對于有界部分，我們是將積分分成正常積分和弱奇性積

9、分兩項來處理，從而只需證明弱奇性項的收斂性，而這一結論我們借助于有界域上證明正則，k正則等函數類的常見手法容易證明.在Plemelj公式的證明過程中，我們主要證明全純Cliffordian函數的Cauchy型積分中那些具有弱奇性項的連續(xù)性.主要是借助第一章一些重要的積分估值和本章前面的思想得以解決的.
　　 第四章討論了定義于R2m+2中有界域Ω取值于Clifford代數R0;2m+1的2m+1次連續(xù)可微函數的一類邊值問題，包括