擬單調(diào)增長連續(xù)的多維反射正倒向隨機微分方程.pdf

1、本文研究的是多維反射正倒向隨機微分方程（簡記為反射FBSDEs）.運用多維反射倒向隨機微分方程（簡記為反射BSDEs）解的存在唯一性、比較定理和“四步法”，在系數(shù)滿足擬單調(diào)增長連續(xù)的條件下證明了多維反射FBSDEs解的存在性。
　　1990年，Pardoux和Peng首先在[2]中給出了如下的非線性BSDE和解的存在唯一性定理:
　　Y(t)=ξ+∫Ttf(s,Y(s),Z(s))ds-∫TtZ(s)dB(s),0≤t≤T.

2、近20年來，BSDE作為研究工程控制、系統(tǒng)科學(xué)、隨機控制和金融數(shù)學(xué)等方面的理論工具，被越來越多的人所熟知。1993年，Antonelli[21]在研究控制學(xué)理論時首先提出了正倒向隨機微分方程(簡記為FBSDE)，他給出了FBSDE在系數(shù)滿足Lipschitz條件下，解的存在唯一性定理。1994年，Ma，Protter和Yong[22]利用研究偏微分方程(簡記為PDE)系統(tǒng)的方法，給出了求解FBSDE的“四步法”，該方法使得隨機控制理論和

3、PDE理論完美結(jié)合，為解決數(shù)理金融等方面的問題提供了方法。1997年，E1-Karouietal.[13]首次提出了一維反射BSDE，并給出了Lipschitz條件下解的存在唯一性定理和比較定理。2010年，Huang，Lepeltier和Wu[27]在Antonelli和Hamadène[25]給出的一類完全耦合的FBSDE的研究基礎(chǔ)上，做出了延伸，加入了障礙過程進行約束，從而得到了一維反射FBSDE，并給出了生成元滿足單調(diào)連續(xù)條件時

4、解的存在性。2010年，Wu和Xiao[26]給出了多維反射BSDEs解的存在唯一性定理和比較定理。2012年，El.Asri[28]研究了一類多維反射FBSDEs，并給出了在最優(yōu)停時問題上的應(yīng)用。2013年，Aazizi和Fakhouri[29]研究了斜反射和無界停時的多維FBSDEs.
　　在Huang，Lepeltier和Wu[27]給出的一維反射FBSDE的基礎(chǔ)上，我們可以很自然的提出幾個疑問，如何構(gòu)造多維反射FBSDEs

5、的理論框架？如何證明多維反射FBSDEs在系數(shù)滿足擬單調(diào)增長連續(xù)的條件下解的存在性？
　　本文共分為四個章節(jié)。
　　第一章:引言，介紹前人在SDE、BSDE、反射BSDE、FBSDE、反射FBSDE等方面所做的研究，提出我們所研究的課題，敘述本文的結(jié)構(gòu)框架。
　　第二章:受Huang，Lepeltier和Wu[27]中一維反射FBSDE的指點，我們建立了多維反射FBSDEs在擬單調(diào)增長連續(xù)條件下的理論模型，并為證明做出

6、相應(yīng)的前期準(zhǔn)備。
　　首先給出如下多維反射FBSDEs模型:{X(t)=x0+∫t0b(s,X(s),Y(s))ds+∫t0σ(s,X(s))dB(s),Y(t)=ξ+∫Ttf(s,X(s),Y(s),Z(s))ds+K(T)-K(t)-∫TtZ(s)dBs,(2.1)Yj(t)≥Sj(t)，∫T0(Yj(t)-Sj(t))dKj(t)=0,j1，…，m.
　　在前期準(zhǔn)備方面我們給出了多維SDEs，多維BSDEs和多維反射B

7、SDEs的比較定理及函數(shù)逼近的相關(guān)知識。
　　第三章:給出反射正倒向隨機微分方程在擬單調(diào)增長連續(xù)條件下解的存在性定理。
　　我們假設(shè)(2.1)中的系數(shù)和參數(shù)滿足如下假設(shè)
　　(i)b是關(guān)于y單調(diào)增長，關(guān)于x擬單調(diào)增長的函數(shù);
　　(ii)f是關(guān)于x單調(diào)增長，關(guān)于y擬單調(diào)增長的函數(shù);f的第j行分量fj只含有z的第j行元素zj，fj和每一個z1，l≠j是相互獨立的;
　　(iii)存在一個常數(shù)C≥0使得|bi(

8、t,x,y)|≤C(1+|x|+|y|),|fj(t,x，y，zj)|≤C(1+|y|+|zj|),dΣl=1|σil(t，x)|≤C(1+|x|)，dΣl=1|σil(t，x1)-σil(t，x2)|≤C(|x1i-x2i|);
　　(iv)ξ∈(ξ)2m，S:[0，T]×Ω→Rm是一個連續(xù)的(f)可測過程滿足E[sup0≤t≤T|S+(t)|2]＜+∞和S(T)≤ξa.s.，這里S+=（S+1，…，S+m）*.
　　為了

9、得到我們的證明，我們先通過方程(2.1)構(gòu)造迭代數(shù)列｛Xk(t)=x0+∫t0b(s，Xk(s)，Yk(s))ds+∫t0σ(s，Xk(s))dB(s)，Yk(t)=ξ+∫Ttf(s,Xk-1(s),Yk(s),Zk(s))ds+Kk(T)-Kk(t)-∫TtZk(s)dB(s)，(3.1)Ykj(t)≥Sj(t)，∫T0(Ykj(t)-Sj(t))dKkj(t)=0，j=1，…，m.
　　參照Ma，Protter和Yong[22