倒向重隨機微分方程的幾個結果.pdf

1、本文主要討論了：(1)倒向重隨機微分方程在某種非Lipschitz條件下解的存在唯一性，并得到了此類方程的比較定理； (2)倒向重隨機微分方程在無窮區(qū)間上解的存在唯一性，以及連續(xù)依賴性，收斂性和其比較定理。 1990年，Pardoux和Peng引入了如下一般形式的倒向隨機微分方程：Yt=ξ+∫Ttg(s，Ys，Zs)ds-∫TtZsdBs，t∈[0，T].從那時起，許多專家致力于這一領域的研究，逐步建立并完善了倒向隨機微

2、分方程的理論體系。 1994年，Pardoux和Peng又引入了如下形式的倒向隨機微分方程：Yt=ξ+∫Ttf(s，Ys，Zs)ds+∫Ttg(s，Ys，Zs)dBs-∫TtZsdWs，t∈[0，T].(0.1)我們將它稱之為倒向重隨機微分方程，其中關于{Bt}的積分是倒向It(o)積分，關于{Wt}的積分是標準正向It(o)積分(詳見后)。此類方程的解給出了擬線性隨機偏微分方程解的概率解釋。也即應用于隨機Feynman-Kac

3、公式的研究。 這里T是有限時間區(qū)間，當T=∞時，即無窮區(qū)間上的倒向重隨機微分方程：Yt=ξ+∫∞tf(s，Ys，Zs)ds+∫∞tg(s，Ys，Zs)dBs-∫∞tZsdWs，t≥0.其解的存在唯一性對于隨機Feynman-Kac公式的研究具有重要的意義。這里我們僅研究函數(shù)g與z獨立的情況，即Yt=ξ+∫∞tf(s，Ys，Zs)ds+∫∞tg(s，Ys)dBs-∫∞tZsdWs，t≥0.(0.2) 本文的目的是研究方程(

4、0.1)在某種非Lipschitz條件(H1.1)，(H1.3)，(H2.1)，(H2.2)下，其解存在唯一性及比較定理，和方程(0.2)在條件(H3.1)，(H3.2)，(H3.3)下其解的存在唯一性，以及連續(xù)依賴性，收斂性和比較定理。 本文共分三部分： 首先：介紹本文所要研究問題的背景。 第一章：在假設條件(H1.1)，(H1.3)下，對方程(0.1)我們通過Picard迭代的方法得到了其解的存在唯一性定理及

5、其比較定理。 定理1.10假設條件(H1.1)和(H1.3)滿足，則存在唯一一對(Y.，Z.)∈S2([0，T]；Rk)×M2(0，T；Rk×d)是方程(0.1)的解。 定理1.11對于如下兩個倒向重隨機微分方程：Yt=ξ+∫Ttf(s，Ys，Zs)ds+∫Ttg(s，Ys，Zs)dBs-∫TtZsdWs，t∈[0,T]，(-Y)t=(-ξ)+∫Tt(-f)(s，(-Y)s，(-Z)s)ds+∫Ttg(s，(-Y)s，(

6、-Z)s)dBs-∫Tt(-Z)sdWs，t∈[0,T].滿足定理1.10的條件，(Yt，Zt)，((-Y)t，(-Z)t)分別為其相應的解。如果還滿足ξ≤(-ξ),f(t，(-Y)t，(-Z)t)≤(-f)(t，(-Y)t，(-Z)t)，mYt≤(-Y)t，a.s.，(∨)t∈[0，T]。 第二章：在假設條件(H2.1)，(H2.2)下，我們通過由局部到整體的方法得到了倒向重隨機微分方程解的存在唯一性定理，同時也得到了此時的比

7、較定理。 定理2.4若假設條件(H1.1)(H2.1)(H2.2)成立，則存在唯一一對(Yt，Zt)∈S2([0，T]；Rk)×M2(0，T；Rk×d)滿足方程(0.1)。 第三章：在假設(H3.1)(H3.2)(H3.3)下，我們得到了無窮區(qū)間上的倒向重隨機微分方程(0.2)解的存在唯一性定理以及連續(xù)依賴性，收斂性定理和比較定理。 定理3.2假設ξ∈L2(Ω，F(xiàn)∞，P；Rk)給定，f和g滿足(H3.1)，(H3

8、.2)和(H3.3)。則倒向重隨機微分方程方程(0.2)有唯一的解(y.，z.)∈B2。 定理3.4設ξi∈L2(Ω，F(xiàn)∞，P;Pk)，(i=1，2)，(yi，zi)是方程(0.2)相應于ξ=ξ1，ξ=ξ2的解，則存在一個常數(shù)(-C)＞0使得‖(y1-y2，z1-z2)‖2B≤(-C)E｜ξ1-ξ2｜2. 定理3.5假設ξ，ξk∈L2(Ω，F(xiàn)∞，P；Rk)，(k=1，2，…)，f和g滿足假設條件(H3.1)-(H3.3)

9、。令(yk，zk)是下列無窮區(qū)間上的倒向重隨機微分方程的解：ykt=ξk+∫∞tf(s,yks,zks)ds+∫∞tg(s，yks)dBs-∫∞tzksdWs,0≤t＜∞.如果E｜ξk-ξ｜2→0當k→∞時。則存在唯一一對(y,z)∈B2使得‖(yk-y，zk-z)‖B→0當k→∞時。而且(y,z)是下列無窮區(qū)間上的倒向重隨機微分方程的解：yt=ξ+∫∞tf(s，ys，zs)ds+∫∞tg(s，ys)dBs-∫∞tzsdWs，0≤t＜∞