幾類延遲微分方程數(shù)值方法的收斂性與穩(wěn)定性.pdf

1、微分方程是描述與刻畫物理過程、系統(tǒng)狀態(tài)、社會與生物現(xiàn)象的有力工具。我們通常所研究和應用的微分方程多是常微分方程(ODEs)。而在許多現(xiàn)實模型中,我們需要知道系統(tǒng)過去時刻的狀態(tài),這就形成了延遲微分方程(DDEs)。延遲微分方程在自然界中是普遍存在的,它是泛函微分方程的一個重要分支,它在種群的繁殖、人口的增長、電力網絡中的能量損耗、神經網絡等領域中常常被使用到。作為重要的數(shù)學模型,延遲微分方程在物理學、生物學、控制科學等很多領域中也有著廣泛

2、的應用,對實際問題的描述更精細。但是只有非常少的延遲微分方程可以獲得解析解的表達式,絕大部分延遲微分方程真解的顯式表達難以獲得,所以數(shù)值求解延遲微分方程并研究數(shù)值方法的收斂性與穩(wěn)定性既有理論意義又有實際價值。
　　文中系統(tǒng)地研究了幾類線性與非線性延遲微分方程及數(shù)值方法,給出收斂性和穩(wěn)定性結論。首先研究了線性延遲微分方程隱–顯式線性多步法的穩(wěn)定性,分別討論了隱–顯式 Euler方法和隱–顯式 BDF方法的P-穩(wěn)定性。給出數(shù)值方法穩(wěn)定

3、區(qū)域的一種新的刻畫方法,并通過數(shù)值算例驗證了這種刻畫方法的可行性。構造了使得線性中立型多延遲積分微分代數(shù)方程(NMDIDAEs)解析解漸近穩(wěn)定的充分條件并給出證明,刻畫了二步 Runge-Kutta方法(TSRK)的穩(wěn)定區(qū)域,最后構造了中立型多延遲積分微分代數(shù)方程二步 Runge-Kutta方法漸近穩(wěn)定的充分條件。
　　對于非線性延遲微分方程,給出疊加 Runge-Kutta方法(ARK) GDN-穩(wěn)定、強代數(shù)穩(wěn)定的定義,研究多延

4、遲微分方程(MDDEs)疊加 Runge-Kutta方法的收斂性與穩(wěn)定性,證明了若多延遲微分方程疊加 Runge-Kutta方法是強代數(shù)穩(wěn)定的,則相應的插值型疊加 Runge-Kutta方法(ARKLM)是GDN-穩(wěn)定的,并指出若插值型疊加 Runge-Kutta方法的級階為p,且是DA-, DAS-及ASI-穩(wěn)定的,那么該數(shù)值方法是D-收斂的,且收斂階為min{+qp.進一步的,,}1研究了多延遲積分微分方程(MDIDEs)疊加 Ru

5、nge-Kutta方法的非線性穩(wěn)定性和D-收斂性,得出類似結論。對于非線性中立型延遲微分方程(NNDDEs)、非線性 Volterra延遲積分微分方程(NVDIDEs)和非線性中立型 Volterra延遲積分微分方程(NNVDIDEs),本文研究了一般線性方法的D-收斂性。給出數(shù)值方法D-收斂、代數(shù)穩(wěn)定、對角穩(wěn)定的定義,指出若一般線性方法是代數(shù)穩(wěn)定的和對角穩(wěn)定的,其一般級階為p,則在插值過程下,一般線性方法數(shù)值求解非線性中立型延遲微分方