非線性發(fā)展方程和孤波解的研究.pdf

1、隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，出現(xiàn)了大量的非線性發(fā)展方程，在不同的物理背景下起著重要的作用。為了探索這些方程在應(yīng)用中的價(jià)值，求解出各種非線性演化方程或方程組的精確解是非線性科學(xué)中一個(gè)很重要的課題。雖然這一個(gè)比較熱門的課題，科學(xué)家們已經(jīng)做了大量的工作，給出了很多方程的精確解，也得到一些很有效的解法，但都是針對(duì)某個(gè)方程或一類方程，目前還沒有系統(tǒng)的，統(tǒng)一的解法。正因?yàn)槿绱?，使得非線性發(fā)展方程仍有很大的研究價(jià)值，很多科學(xué)家一直活躍于這一領(lǐng)域。而孤波解就

2、是非線性發(fā)展方程很有意義的一類解，這是因?yàn)樗诤芏鄬W(xué)科都有著重要的應(yīng)用。本文正是以非線性微分方程的孤波理論為基礎(chǔ)，探討幾種重要的求解精確解的方法，并求出一些新的非線性發(fā)展方程的單孤波解以及多孤波解。 本文章節(jié)及內(nèi)容安排如下： 第一章介紹了非線性發(fā)展方程的理論背景發(fā)展現(xiàn)狀，以及孤子概念的產(chǎn)生，孤子理論在各先進(jìn)學(xué)科的重要應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上介紹了非線性發(fā)展方程的孤波解理論基礎(chǔ)及孤子性質(zhì)。 第二章研究了相似變換求解非線性發(fā)

3、展方程的理論思想，通過相似變換可使高階或高維的非線性發(fā)展方程降階或降維，變?yōu)榈碗A的或低維的偏微分或常微分方程，便于求解。經(jīng)典李群法，非經(jīng)典李群法以及C-K法，都屬于相似變換，重點(diǎn)介紹了C-K法并對(duì)這幾種方法進(jìn)行了比較。最后用C-K法約化五階色散方程為常微分方程。 第三章研究了變系數(shù)均衡作用法求解非線性發(fā)展方程的理論思想，以及這種方法的重要作用。通過均衡作用法能得到很多具有物理背景的非線性演化方程的精確解，還可以獲得Ba cklu

4、nd變換，而且已經(jīng)可以用它來尋找非線性發(fā)展方程的相似約化，以及多孤子解等。最后用變系數(shù)均衡作用法求得變系數(shù)Huxley方程的新的精確解。 第四章是本文研究的重點(diǎn)。雙線性變換法是70年代由Hirota發(fā)展起來的又一種求解非線性發(fā)展方程的精確求解法，通過把非線性方程化為算子形式的雙線性形式來求解方程，它把復(fù)雜的微分方程用簡潔的雙線性算子形式來表示，用這種方法可以求出非線性發(fā)展方程的孤子解也可用來尋找Ba cklund變換，lax對(duì)等