幾類非線性發(fā)展方程的對稱群和不變解的研究.pdf

1、本文主要運用經(jīng)典李群法,非經(jīng)典李群方法、直接對稱法和改進(jìn)的CK直接約化方法研究了一些偏微分方程(組),如變系數(shù)五階KdV方程、(2+1)維耦合Burgers方程組、新的非線性五階可積方程,并利用李點對稱群來化簡原方程.并求得了一些新的精確解.重要的是運用經(jīng)典李群方法研究了mKdV差分方程的不變性.李群方法應(yīng)用到差分格式研究較少,因此用李群方法研究mKdV差分方程的不變性是本文的創(chuàng)新點.
　　在第一章中,運用經(jīng)典李群方法研究了變系數(shù)

2、五階KdV方程,之后我們得到相應(yīng)的李點對稱群、優(yōu)化系統(tǒng)和群不變解.然后對一些特殊類型的方程給出了一些精確解.
　　在第二章中,利用直接對稱方法,即用待定系數(shù)法求出((2+1)維Burgers方程組的李對稱,通過對稱得到(2+1)維Burgers方程組的約化方程,再借助輔助函數(shù)的方法對約化方程進(jìn)行求解,得到了(2+1)維Burgers方程組的一些新的精確解.
　　在第三章中,運用改進(jìn)的CK直接方法求得了變系數(shù)五階KdV方程一個

3、等價變換,從而得到變系數(shù)五階KdV方程和同種形式的常系數(shù)變系數(shù)五階KdV方程解的關(guān)系.再利用經(jīng)典和非經(jīng)典李群方法對該變系數(shù)五階KdV方程進(jìn)行約化、求解,根據(jù)解的關(guān)系得到變系數(shù)五階KdV方程的一些新的精確解.
　　在第四章中,運用經(jīng)典李群方法,直接對稱方法求得了一個新的非線性五階可積方程的李點對稱群和群不變解,同時利用級數(shù)解的方法,得到了一些新的精確解.
　　在第五章中,利用李群方法研究了mKdV差分方程.得到了mKdV微分方

4、程及差分方程的無窮小生成元的李代數(shù).發(fā)現(xiàn)對稱不僅保持mKdV微分方程的不變性.同時也保持了差分方程在均勻正交網(wǎng)格下的不變性.
　　綜上所述,本文的特色是首先把李點對稱群應(yīng)用到數(shù)學(xué)物理中出現(xiàn)的偏微分方程(組)中去,尤其是差分方程中,并對方程進(jìn)行約化、求解.然后利用改進(jìn)的CK直接約化方法求出變系數(shù)方程(組)的等價變換,再根據(jù)這個等價變換得到了變系數(shù)方程組的新精確解.最后將李點對稱群應(yīng)用到差分方程中去,并研究了差分方程的不變性.對研究實