一族耦合的KdV方程及其對應的有限維可積系統(tǒng).pdf

1、鄭州大學碩士學位論文一族耦合的KdV方程及其對應的有限維可積系統(tǒng)姓名：李春霞申請學位級別：碩士專業(yè)：基礎數(shù)學指導教師：耿獻國李夢如2002.5.1一族耦合的鑒墮!友猩及其對應的查腿堡亙丞丕摘要：f1990年，曹策問先生在上海非線性物理國際學術會議上做了題為“通過特征值問題的非線性化產(chǎn)生經(jīng)典可積系統(tǒng)”的報告，在這篇報告中他提出了非線性化方法。這種方法開始應用到很多22矩陣譜問題，得到了數(shù)十個有限維可積系統(tǒng)。后來，有人把這種方法推廣應用到三

2、階和四階高階矩陣譜問題。高階矩陣譜問題是物理界很感興趣的問題，是目前國際上孤子理論研究的趨勢。但由于這種問題計算量大、計算復雜，對高階矩陣譜問題非線性化的研究較少。當我們考慮高階的矩陣譜問題時，需要一些特殊的技巧和進行大量的計算。特別地，體現(xiàn)在算子對的獲得和證明守恒積分的對合性和獨立性上。卜，一’本文考慮了一個有三個位勢的44矩陣譜問題＼y，=U(s，旯)y0“一旯0W導出一族新的非線性演化方程，其中一個典型的方程是耦合KdV方程，它在

3、物理學中有很重要的應用。同時，借助跡恒等式，這族方程還具有廣義雙Hamiltonian結構。啦B“一約鶘=善V^歹磊刪一個有限維Hamiltonian系統(tǒng)。利用駐定零曲率方程解矩陣礦(丑)的特征多項式，，＼pg，旯)=dct(點ff一礦)=毒4日∞’善2只o’，戶p一可得到2Ⅳ個對合的守恒積分。文中用母函數(shù)方法給出對合性的證明，從而證明了該Hamiltonian系統(tǒng)在Liouville意義下是完全可積的。此外，還得到了耦合KdV方程的對