孤子方程族的可積耦合系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Hamiltonian結(jié)構(gòu).pdf

1、本文研究的主要內(nèi)容包括：運用李代數(shù)，首先給出一些方程族的可積耦合系統(tǒng)的構(gòu)造模式，并且給出了非等譜情形的離散可積耦合系統(tǒng)。進(jìn)而討論了連續(xù)和離散方程族的零曲率表示的李代數(shù)結(jié)構(gòu)。另外，還介紹了孤子族的生成及 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)，Liouville可積性。最后利用分?jǐn)?shù)階微積分給出了孤子方程的分?jǐn)?shù)階 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)。其具體內(nèi)容為： 第一章介紹了孤立子理論，可積系統(tǒng)，非線性發(fā)展方程精確求解，分?jǐn)?shù)階微積分的歷史發(fā)展及研

2、究現(xiàn)狀，同時介紹了國內(nèi)外學(xué)者在這方面取得的成果。 第二章簡要的介紹了 Kac-Moody 代數(shù)，Hamiltonian 函數(shù)的概念及相關(guān)的性質(zhì)．詳細(xì)的闡述和介紹了 AC = BD 理論中的一些相關(guān)的定理和性質(zhì)及其在這個框架下的一些重要應(yīng)用。 第三章首先從新的譜問題出發(fā)導(dǎo)出一族矩陣 Lax 可積方程族，并獲得它的 Hamiltonian結(jié)構(gòu)．另外從 Lax 對出發(fā)，采用提出的譜擴(kuò)張方法得到了許多新的可積耦合方程族，在此基礎(chǔ)

3、上，把這種方法推廣到高維空間，并獲得了一系列的多分量可積耦合方程族．但是利用這種方法不能得到可積耦合方程族的 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)(尤其是多分量可積耦合方程族的 Hamiltonian 結(jié)構(gòu))，針對此問題，文中給出廣義的 killing 內(nèi)積，并且運用廣義的二次跡恒等式獲得了多分量耦合系統(tǒng)的 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)。其中給出了多分量 Jaulent-Miodek方程族，多分量 2+1 維 GJ 方程族和耦合Dirac方程族

4、的 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)。另外利用一個廣義的矩陣譜問題，得到了耦合方程族的 R-矩陣。其中以 AKNS 族為例，得到了耦合AKNS 方程族的 R-矩陣。 第四章從 loop 代數(shù)A<,1>的一個子代數(shù)出發(fā)，利用屠格式求出了一類離散情形 Lax 可積耦合的系統(tǒng)，并且得到非等譜的離散可積方程族和耦合系統(tǒng)，另外我們還提出了 2+1維非等譜離散可積耦合形式，利用譜參數(shù)λ滿足的非等譜條件，得到了 Blaszak-Marciniak

5、晶格方程的耦合系統(tǒng)。國際著名雜志《Physics Letters A》的編委A.R. Bishop 對此種方法給出了很好的評價“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，it is an interesting and important work”。另外，進(jìn)一步考慮了離散系統(tǒng) Darboux 變換。最后討論了離散可積方程與連續(xù)可積方程的聯(lián)系，通

6、常人們采用的是對勢函數(shù)作變換，而文中采用對算子作變換，利用計算機(jī)軟件通過比較算子的系數(shù)，得到了很好的結(jié)果，并且把一個新的離散方程轉(zhuǎn)化成 AKNS 方程．這樣做不僅可以建立離散與連續(xù)方程之間的關(guān)系，更重要的是可以通過連續(xù)型方程的精確解(解析解)獲得相應(yīng)的離散方程的數(shù)值解，這樣就可以得到更多，更好的數(shù)值解。 第五章在整數(shù)情形可積系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮分?jǐn)?shù)形的 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)，文中運用了外微分與分?jǐn)?shù)階微積分結(jié)合，給出了

7、分?jǐn)?shù)空間和分?jǐn)?shù)形式的 Hamiltonian 形式。在這里主要考慮要把整數(shù)情形的結(jié)論發(fā)展到分?jǐn)?shù)情形，建立一套分?jǐn)?shù)階 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)和可積系統(tǒng)。我們已經(jīng)完成了分?jǐn)?shù)階零曲率方程的構(gòu)造，得到了分?jǐn)?shù)階情形的 AKNS 方程和C-KdV 方程，并且給出了它們簡單形式的 Hamiltonian 函數(shù)。另外利用 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階算子和分?jǐn)?shù)形式的 Possion 括號，把 Hamiltonian 結(jié)構(gòu)的辛形式推廣到