幾類高階差分系統(tǒng)周期解的存在性.pdf

1、微分方程、差分方程作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，廣泛應(yīng)用于計算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)及控制論等學(xué)科領(lǐng)域中，因此對微分方程、差分方程解的性態(tài)的研究不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的實用價值.幾十年來，許多學(xué)者對微分方程周期解的存在性與多重性應(yīng)用不同的方法進(jìn)行了深入廣泛的研究，這些方法主要有臨界點(diǎn)理論(包括極小極大理論、幾何指標(biāo)理論與Morse理論)、不動點(diǎn)理論、重合度理論、Kaplan-Yorke藕合系統(tǒng)法等.在這些方法中，臨

2、界點(diǎn)理論已成為處理這類問題的強(qiáng)有力的工具.但是應(yīng)用臨界點(diǎn)理論研究差分方程周期解的存在性的文獻(xiàn)很少，其主要原因在于難以找到適當(dāng)?shù)淖兎纸Y(jié)構(gòu).本博士論文應(yīng)用臨界點(diǎn)理論研究了幾類高階差分系統(tǒng)的周期解的存在性和一類橢圓系統(tǒng)的解的存在性，得到了一系列全新的結(jié)果，主要內(nèi)容如下： 首先，簡要介紹了變分法的歷史，回顧了與所研究問題相關(guān)的橢圓方程、哈密爾頓系統(tǒng)的歷史背景與發(fā)展現(xiàn)狀，并對本文的工作進(jìn)行了簡要的陳述. 其次，構(gòu)建了幾類新的高階差

3、分系統(tǒng)(或方程)模型，并通過構(gòu)建恰當(dāng)?shù)淖兎纸Y(jié)構(gòu)，將兩類高階差分系統(tǒng)(或方程)的周期解和一類橢圓系統(tǒng)的解的存在性問題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)函數(shù)空間上對應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)的存在性問題，拓展了原有的二階差分方程(或系統(tǒng))模型. 在第二章中，我們討論了一類高階差分系統(tǒng). 首先，利用Morse理論結(jié)合臨界群的計算等方法研究了高階差分系統(tǒng)在非線性項是漸近線性的和超線性的兩種情形，得出以下結(jié)論：當(dāng)非線性項在無窮遠(yuǎn)處是漸近線性時，如果變分泛函在無窮遠(yuǎn)處

4、的Morse指標(biāo)和原點(diǎn)處的Morse指標(biāo)不同，則系統(tǒng)在共振和非共振兩種狀態(tài)下都存在非平凡周期解.當(dāng)非線性項在無窮遠(yuǎn)處是超線性時，系統(tǒng)至少存在三個不同的周期解. 然后，分別利用環(huán)繞定理、對稱山路引理得到了該高階差分系統(tǒng)存在多個和無窮多個非平凡周期解的結(jié)論，部分結(jié)果推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)論.再利用Morse理論結(jié)合Lyapunov-schmidt約化方法、三臨界點(diǎn)定理研究該高階差分系統(tǒng)，將原有的對微分方程的研究方法推廣到差分方程，并獲得

5、了該高階差分系統(tǒng)多個和無窮多個非平凡周期解的存在條件. 在第三章中，我們利用環(huán)繞定理研究一類高階泛函差分方程的周期解的存在性，得到了該方程至少存在一個非平凡周期解的若干充分條件. 在第四章中，我們考慮一類高階差分方程.在非線性項是共振的情形，我們利用臨界點(diǎn)理論中的局部環(huán)繞及無窮遠(yuǎn)處的角條件獲得了該高階差分方程多個非平凡周期解的存在條件. 在第五章中，我們結(jié)合疇數(shù)理論，利用推廣的山路引理研究了一種橢圓系統(tǒng)的解的存在