準(zhǔn)素子群的正規(guī)化子有素?cái)?shù)冪指數(shù)的群的研究.pdf

1、在討論有限群G的構(gòu)造和性質(zhì)時(shí),我們常常借助于其子群的性質(zhì).眾所周知,有限群的西洛子群的正規(guī)化子在對(duì)有限群G的研究中起著極其重要的作用.我們令X表示一個(gè)群類(lèi),我們把西洛子群的正規(guī)化子包含在X中的群構(gòu)成的群類(lèi)用Nx來(lái)表示.在1986年,Bianchi和Mauri以及Hauch首先證明了對(duì)于所有的冪零群類(lèi)N,N<'N>(符號(hào)略)N成立.也就是說(shuō),如果群G的所有西洛子群的正規(guī)化子是冪零的,則G本身也是冪零的[1].1988年,Fedri和Ser

2、ens在[2]指出對(duì)于所有的超可解群類(lèi)υ,未必有N<'υ>(符號(hào)略)υ.上述文章中,都是討論西洛子群的正規(guī)化子有內(nèi)部性質(zhì)的有限群.另一方面,人們也可以討論西洛子群的正規(guī)化子有某種外部性質(zhì)的有限群.1988年,Kondrat'ev[3]證明了:如果群G的任意西洛子群的正規(guī)化子在G中的指數(shù)為奇數(shù),則G是2-冪零的.1995年,Zhang[4]證明了如果群G的任意西洛子群的正規(guī)化子有素?cái)?shù)冪指數(shù),則G是可解的.隨后,Chigira在[5]中證明

3、了對(duì)于做任意r∈π(G),如果p≠3而且(|G:N<,G>(G<,r>)|,p)=1,則群G是p-冪零的.1996年,Guo[6]證明了一個(gè)群G的西洛子群的正規(guī)化子的指數(shù)為奇數(shù)或?yàn)橐粋€(gè)素?cái)?shù)冪當(dāng)且僅當(dāng)G為可解群而且G=KH,其中K和H都是群G的Hall-子群,K是正規(guī)于G的一個(gè)2'-Hall子群的冪零子群,H是2-冪零的.作為這方面研究的繼續(xù),該文進(jìn)一步研究了準(zhǔn)素子群的正規(guī)化子有素?cái)?shù)冪指數(shù)的有限群.§1中給出這類(lèi)群的定義以及所需要的主要概