反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的長(zhǎng)時(shí)間行為.pdf

1、本報(bào)告內(nèi)容基于反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)理論在流行病學(xué)和種群生態(tài)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，所研究的對(duì)象主要是瘧疾模型、單種群、兩種群耦合模型，這幾類(lèi)模型來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景和深刻的理論意義.我們研究了表征這幾類(lèi)模型的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的長(zhǎng)時(shí)間行為，如平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性，行波解的存在性，漸近波速，最小波速，最小波速與漸近波速的估計(jì)式與關(guān)系等，具體內(nèi)容見(jiàn)第二至第五章.
　　 在第二章，我們研究了具有時(shí)滯和非局部效應(yīng)的瘧疾模型的行波解.我們首

2、先利用半群理論，分析了模型相應(yīng)的Cauchy問(wèn)題在無(wú)界區(qū)域上解的正性與不變性.其次，根據(jù)基本再生數(shù)R0，我們討論了無(wú)界區(qū)域上行波解的存在性.通過(guò)將模型系統(tǒng)行波解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)適當(dāng)算子的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造合適的上下解結(jié)合交叉迭代技巧，我們得到了:若R0＞1，則存在連接無(wú)病平衡態(tài)到地方病平衡態(tài)的行波解;若R0＜1，則不存在連接無(wú)病平衡態(tài)自身的行波解.這描述了瘧疾在空間里的傳播行為并在地域上入侵無(wú)病區(qū)域.數(shù)值模擬進(jìn)一步表明行波解并非單調(diào)

3、的.
　　 在第三章，我們研究了Holling型的捕食-被捕食系統(tǒng)的行波解.在一般的Holling型功能性反應(yīng)函數(shù)下，我們首先利用Hopf分支定理與隱函數(shù)定理，考慮了小振幅的行波串解的存在性.其次，綜合應(yīng)用Wazewski's拓?fù)湓瓌t、不變流形、LaSalle不變?cè)瓌t、Lypunov函數(shù)法、Poincaré-Bendixson定理、Fenichel's幾何奇異攝動(dòng)法等方法，我們得到了兩類(lèi)行波解的存在性.這兩類(lèi)行波解稱(chēng)為“入侵波”

4、，分別是:連接邊界平衡態(tài)與正平衡態(tài)的行波解，連接邊界平衡態(tài)與周期軌的行波解.并且，我們獲得了生物入侵的最小波速.上述方法不僅適用于一般的Holling型功能性反應(yīng)函數(shù)，而且亦適用于一般的反應(yīng)函數(shù).
　　 在第四章，我們研究了一類(lèi)遷移且具有非單調(diào)出生函數(shù)的單種群模型的漸近模式.在有界區(qū)域情形下，利用線性化與特征值分析、波動(dòng)引理、Fatou引理，我們得到了平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性.若區(qū)域無(wú)界，通過(guò)積分技巧，將積分微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單個(gè)非線

5、性積分方程，利用已有的單個(gè)方程行波解及漸近波速的相關(guān)理論，我們得到了漸近波速c*以及行波解的存在性.即是，若c∈(0，c*)，則模型系統(tǒng)不存在連接零平衡態(tài)與正平衡態(tài)的行波解;若c≥c*，則模型系統(tǒng)存在連接零平衡態(tài)與正平衡態(tài)的行波解，且行波解在c＞c*是唯一的.進(jìn)一步，我們證明了漸近波速實(shí)質(zhì)上與最小波速相等.
　　 在第五章，我們研究了一類(lèi)部分退化的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)在周期環(huán)境下的漸近波速.由于模型系統(tǒng)的系數(shù)或反應(yīng)項(xiàng)依賴(lài)于空間變量，且解