帶衰退記憶的方程整體解的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為.pdf

1、在這篇論文中，通過(guò)運(yùn)用無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)關(guān)于吸引子理論的最新研究成果并且結(jié)合一些能量估計(jì)技巧，我們研究了兩類方程：具有衰退記憶的非經(jīng)典擴(kuò)散方程和具有衰退記憶的半線性熱方程，我們對(duì)其弱解和強(qiáng)解的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了深入的討論，并且證明了以上方程對(duì)應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)的全局吸引子或一致吸引子的存在性。 首先，我們研究了在自治外力項(xiàng)作用下具有衰退記憶的非經(jīng)典擴(kuò)散方程ut-△ut-△u-∫∞0 k(s)△u(t-s)ds=∫(u)+g(x).當(dāng)非線

2、性項(xiàng)，∫(u)滿足臨界指數(shù)增長(zhǎng)，以及外力項(xiàng)g僅屬于空間H-1(Ω)或L2(Ω)時(shí)，通過(guò)應(yīng)用半群分解技術(shù)和緊性轉(zhuǎn)移定理來(lái)克服證明過(guò)程中存在的許多實(shí)質(zhì)性困難，最終獲得了方程的全局吸引子在弱拓?fù)淇臻g和強(qiáng)拓?fù)淇臻g的存在性結(jié)果(見定理3.2.9和定理3.3.8).繼而，我們研究了在非自治外力項(xiàng)作用下具有衰退記憶的非經(jīng)典擴(kuò)散方程ut-△ut-△u-∫∞0k(s)△u(t-s)ds=∫(u)+g(x，t).當(dāng)非線性項(xiàng)，(u)滿足臨界指數(shù)增長(zhǎng)，以及符號(hào)

3、空間僅為L(zhǎng)2b(R；L2(Ω))或L2b(R；H10(Ω)(而非平移緊)時(shí)，通過(guò)分解解過(guò)程，來(lái)進(jìn)行解的漸近正則性估計(jì)，從而得到了方程在弱拓?fù)淇臻g和強(qiáng)拓?fù)淇臻g對(duì)應(yīng)的過(guò)程族的緊的一致(w.r.t.g∈H(g0))吸引子的存在性(見定理4.2.15和定理4.3.5). 最后，我們研究了在自治外力項(xiàng)作用下具有衰退記憶的半線性熱方程ut-△u-∫∞0k(s)△u(t-s)ds+f(u)=g(x).在非線性項(xiàng)滿足超臨界指數(shù)增長(zhǎng)條件下，通過(guò)應(yīng)

4、用抽象半群理論，進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)，獲得了解的存在唯一性，在此基礎(chǔ)上利用收縮函數(shù)來(lái)驗(yàn)證解半群的漸近緊性，最終我們證明了方程的全局吸引子在弱拓?fù)淇臻gL2(Ω)×L2μ(R+；礎(chǔ)(Ω)和強(qiáng)拓?fù)淇臻gH10(Ω)×L2μ(R+；D(A))中的存在性(見定理5.2.9和定理5.3.7). 我們所研究的方程滿足的條件很弱，關(guān)于非線性項(xiàng)通常是滿足臨界指數(shù)增長(zhǎng)或超臨界指數(shù)增長(zhǎng)，而且在自治情形下外力項(xiàng)僅屬于正則性較低的空間，在非自治情形下外力項(xiàng)僅為平移