非柱形區(qū)域上兩類發(fā)展方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為研究.pdf

1、隨著社會(huì)的發(fā)展與科技的進(jìn)步,在物理學(xué)、生物學(xué)、控制論等學(xué)科領(lǐng)域涌現(xiàn)出越來(lái)越多的非柱形區(qū)域問題.由于此類問題非自治的固有性以及非自治動(dòng)力系統(tǒng)發(fā)展的滯后性,關(guān)于其動(dòng)力學(xué)行為的研究至今還比較少.本文針對(duì)兩類具體的非柱形區(qū)域上的復(fù)Ginzburg-Landau(CGL)方程與非線性弱耗散波方程解的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.
　　首先,本文對(duì)同胚區(qū)域上的CGL方程與非線性弱耗散波方程解的適定性及其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.主要包括:(1)借助于同胚

2、變換以及新建立的一些重要的不等式,證明此兩類方程強(qiáng)解的存在唯一性.(2)選擇合適的函數(shù)空間給出弱解的定義,并證明弱解的存在唯一性.(3)分別建立兩類系統(tǒng)的拉回吸引子.由于區(qū)域變化以及方程本身的特性帶來(lái)的困難,分別運(yùn)用有限ε–網(wǎng)與收縮函數(shù)的思想方法來(lái)證明CGL方程與弱耗散波方程的漸近緊性.以上問題的研究構(gòu)成本文第三章與第五章的主要內(nèi)容.同時(shí),引入了一些新的方法與技巧建立系統(tǒng)的拉回吸引子,降低了現(xiàn)有方法(如[67,102])對(duì)區(qū)域變化的要求

3、.在第五章中,還建立了有效的判定準(zhǔn)則來(lái)研究同胚區(qū)域波方程能否保持雙曲性的問題.
　　其次,本文研究了單調(diào)區(qū)域上的CGL方程解的適定性及其動(dòng)力學(xué)行為.研究單調(diào)區(qū)域上發(fā)展方程的經(jīng)典方法是“懲罰法”.然而,由于CGL方程本身的復(fù)值性及非線性性等特征,現(xiàn)有的懲罰函數(shù)無(wú)法應(yīng)用于CGL方程的研究.結(jié)合已有的懲罰函數(shù)及CGL方程的特點(diǎn),本文給出了一種新型的懲罰函數(shù).特別地,此類懲罰函數(shù)對(duì)于研究其他非柱形區(qū)域問題,如波方程的單調(diào)區(qū)域問題將起到積極

4、促進(jìn)作用.同時(shí),沿用S.Bonaccorsi[14]等引入的“選擇”的思想,本文證明了變分解的唯一性.然后,利用無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的一些思想方法證明系統(tǒng)存在緊的拉回吸收集,進(jìn)而建立此類非自治動(dòng)力系統(tǒng)的拉回吸引子.此亦為第四章的主要內(nèi)容.
　　最后,基于所取得的研究成果及當(dāng)前的研究現(xiàn)狀,列出將要研究的部分問題.
　　本文的研究不但豐富了無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)內(nèi)容,而且針對(duì)具體問題所引入的一些新的思想方法亦將為非柱形區(qū)域問題的后續(xù)研究