鐵電問題中的參變量變分原理及其應(yīng)用.pdf

1、對于鐵電材料的裂尖場分析,線性壓電理論是不充分的,必須考慮非線性力電耦合行為才可能獲得可信的理論和數(shù)值結(jié)果.因此,近年來鐵電的宏、細(xì)觀本構(gòu)模型的研究有了積極的發(fā)展.其中,一類明確借用宏觀彈塑性理論中的概念和方法的本構(gòu)模型對有限元分析具有特別的吸引力.然而,將傳統(tǒng)彈塑性有限元分析推廣到此類鐵電模型并不是一個顯然的過程.因缺失了傳統(tǒng)彈塑性中能量二次型的正定性,當(dāng)前普遍應(yīng)用的基于電焓駐值原理和迭代法的鐵電數(shù)值算法的穩(wěn)定性是難以保證的.因此,可

2、靠的鐵電數(shù)值算法依然是一個有待探討的問題,無論是有限元列式或非線性算法都需要深入研究.本文對上述一類鐵電模型提出了一個參變量變分原理和參數(shù)二次規(guī)劃算法,并相應(yīng)地應(yīng)用了基于Helmholtz自由能的有限元列式.較之基于電焓的有限元,基于Helmholtz自由能的有限元具有正定性,因此在數(shù)值穩(wěn)定性上具有明確的優(yōu)勢,對于算法穩(wěn)定性分析也是有利的.在第一章中,建議了一個稱為參變量最小Helmholtz自由能原理的變分原理.該原理適用于前述的鐵電

3、宏觀本構(gòu)模型,以及鐵電的晶體塑性細(xì)觀本構(gòu)模型.在第二、三章中分別計(jì)算了單軸和多軸宏觀模型的典型電滯回線、蝶形回線和鐵彈曲線.計(jì)算單軸模型是為了對本文原理和算法有一個清楚的示例,而計(jì)算多軸模型則是對算法有一個充分的考察.另外,住第三章中還應(yīng)用本文方法計(jì)算并討論了mode E裂尖場的非線性行為,既是應(yīng)用,也是對方法的深入考察.本報(bào)告其余部分是關(guān)于應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)構(gòu)造有限元的一些研究.借助于Cosserat連續(xù)介質(zhì)模型,在第四章系統(tǒng)地探討了應(yīng)力函

4、數(shù)和位移對避免有限元C<'1>連續(xù)性困難的互補(bǔ)性作用.應(yīng)用幾何學(xué)的外微分工具構(gòu)造應(yīng)力函數(shù),顯示了應(yīng)力函數(shù)與位移在幾何上的相似性.通過對應(yīng)力函數(shù)對偶理論的深入分析,為將應(yīng)力函數(shù)列式得到的余能單元轉(zhuǎn)化為具有一般位移自由度的勢能單元提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),在此基礎(chǔ)上,給出應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)構(gòu)造有限元的一般方法.偶應(yīng)力理論是有限元列式面臨C<'1>連續(xù)性困難的問題之一.平面偶應(yīng)力理論的應(yīng)力函數(shù)提法和Reissner/Mindlin板彎曲理論的位移提法之

5、間的比擬關(guān)系表明這兩個理論系統(tǒng)的有限元的同一性,而R/M板位移有限元并不存在C<'1>連續(xù)性困難.因此,在第五章研究了應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)列式構(gòu)造具有一般位移自由度的平面偶應(yīng)力單元的一般方法.根據(jù)這一方法,將典型的八節(jié)點(diǎn)Serendipity型R/M板單元Q8S轉(zhuǎn)化為一個四節(jié)點(diǎn)十二自由度的四邊形平面偶應(yīng)力單元,數(shù)值結(jié)果表明該單元具有良好的精度和收斂性.傳統(tǒng)多變量變分原理中并沒有考慮以應(yīng)力函數(shù)為變分宗量.作為對應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)的有限元研究的一個深入,