非線性方程(論文)

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文檔簡介

1、　　非線性方程根的數(shù)值求法（二）　　摘要　　在科學(xué)研究和工程設(shè)計中, 經(jīng)常會遇到的一大類問題是非線性方程　　f(x)=0 　　的求根問題，其中f(x)為非線性函數(shù)。方程f

2、(x)=0的根, 亦稱為函數(shù)f(x)的零點。　　如果f(x)可以分解成 ,其中m為正整數(shù)且 ,則稱x*是f(x)的m重零點,或稱方程f(x)=0的m重根。當(dāng)m=1時稱x*為單根。若f(x)存在m階導(dǎo)數(shù),則是方程f(x)的m重根(m>1)當(dāng)且僅當(dāng)。　　當(dāng)f(x)不是x的線性函數(shù)時，稱對應(yīng)的函數(shù)方程為非線性方程。如果f(x)是多項式函數(shù)，則稱為代

3、數(shù)方程，否則稱為超越方程（三角方程，指數(shù)、對數(shù)方程等）。一般稱n次多項式構(gòu)成的方程為n次代數(shù)方程,當(dāng)n＞1時,方程顯然是非線性的。一般稍微復(fù)雜的3次以上的代數(shù)方程或超越方程,很難甚至無法求得精確解。此論文將介紹常用的求解非線性方程的近似根的幾種數(shù)值解法。　　關(guān)鍵詞：非線性方程；數(shù)值解法；近似根 　　THE NUMERICAL METHOD OF NON

4、LINEAR EQUATION (TWO)　　ABSTRACT　　In scientific research and engineering design, a large class of problems often encountered is a nonlinear equation

5、　　F (x) =0　　The root problem, where f (x) is a nonlinear function.The equation f (x) =0 root, also known as a function of F (x) zero.　　If f (x) can be

6、 decomposed into, where m is a positive integer and, then x* is called f (x) m zeros, or equation f (x) m =0. When m=1 x* is called single. If f (x) m derivative, is the equation f (x) m roots (m>1) if and only if.<

7、;/p>　　When f (x) is not a linear function of X, function equation is a nonlinear equation. If f (x) is a polynomial function, is called algebraic equations, otherwise known as the transcendental equation (t

8、rigonometric equation, exponential, logarithmic equation). The general said the N polynomial equation for n algebraic equation, when n > 1, the equation is nonlinear. Generally slightly complicated algebraic equation

9、3 times above or beyond the equation, it is difficult or even impossible to obtain 　　Key words: nonlinear equation; numerical solution; approximate root　　目錄&

10、lt;/p>　　1 題目內(nèi)容………………..………………………………………………………………….1　　1.1 題目的復(fù)述……………………………………………………………………………1　　問題分析…………………………………………………………………………………...2　　2.1問題的分析…

11、……………..…………………………………………………………. .2　　3 算法描述…………………………………………………….…………………..………....3　　3.1 簡單迭代法……………………………………………………………………….…...3　　3.1.1 簡單迭代法的原理……………………………………………

12、……..………….3　　3.1.2 簡單迭代法的幾何解析………………………………………………………...3　　3.1.3 簡單迭代法的收斂依據(jù)………………………………………………………...3　　3.1.4 簡單迭代法收斂的條件………………………………………………………...3<p&

13、gt;　　3.1.5 簡單迭代法的局部收斂性……………………………………………………..4　　3.1.6 簡單迭代法的收斂階…………………………………………………………...4　　3.2 牛頓迭代法……………………………………………………………………………4　　3.2.1 牛頓迭代法原理…………………………………

14、……………………………...4　　3.2.2 牛頓迭代法的幾何解析………………………………………………………...5　　3.2.3 牛頓迭代法的收斂性…………………………………………………………...5　　3.2.4 牛頓迭代法的收斂速度………………………………………………………..5&l

15、t;p>　　3.2.5 迭代過程的加速………………………………………………………………..6　　3.3 弦割法…………………………………………………………………………………6　　4 簡短源程序及有關(guān)運行結(jié)果……………………………………………………………...8　　參考文獻……………………………………………

16、………………………………….……..16　　附錄…………………………………………………………………………….……………..17　　1 題目內(nèi)容　　1.1 題目的復(fù)述　?。?）用簡單迭代法求下列方程

17、的根，要求有6位有效數(shù)字，改變初值的選取，對出現(xiàn)的情況進行總結(jié)分析；構(gòu)造收斂速度盡可能高的迭代法，并求根。　　（2）用牛頓法求下列方程的根，要求有6位有效數(shù)字，　　x=ctgx；　　改變初值的選取，對出現(xiàn)的情況進行總結(jié)分析；若要求方程的最小正根和在附近的根，初值應(yīng)如何選

18、??？并討論初值的變化對收斂的影響。　?。?）探討用其它方法來求（1）和（2）中的非線性方程的根（如二分法、弦割法、拋物線法等）。　　（4）上面計算結(jié)果精度可達10位以上有效數(shù)字嗎？說明實現(xiàn)過程，并舉例。　　問題分析

19、　　2.1問題的分析　　我們都會解一元一次方程和一元二次方程，三次以上方程就不會解了。事實上，三次和四次方程的求根公式很復(fù)雜，五次以上代數(shù)方程一般無求根公式，超越方程也只能求近似解。考察形式如下的方程：　　該方程是隱式的，也不能直接得出它的根，只能通過迭代法求出它的近似解。如果給出根的某個猜測值x0，將它代入方程式中，即可求得。然后

20、又可以取為猜測值，代入方程式中，如此反復(fù)迭代。如果按以下公式：　　，k=0,1,2,…　　確定的數(shù)列有極限 = ,則稱方程迭代過程收斂。這時迭代值顯然是方程的根。　　本次課題是用迭代法求非線性方程根。首先我們要理解迭代法求解非線性方程根的基本算法，確定迭代格式，如（1）中方程，構(gòu)造迭代格式為：。然后按題目

21、要求，將相關(guān)求非線性方程迭代算法用c++語言實現(xiàn)編程，在程序運行中輸入初始值，求出方程根。最后用多種迭代法分別用不同的初始值進行求方程根，對得到的收斂速度和求根結(jié)果進行總結(jié)分析。　　3 算法描述　　3.1簡單迭代法　　3.1.1 簡單迭

22、代法的原理　　簡單迭代法的基本思想是：　　設(shè)方程　　…（1）　　有解，把方程改寫為等價形式　　…（2）</p&

23、gt;　　選定的初始值x0進行迭代：　　…（3）　　得迭代序列。當(dāng)k 足夠大時，用xk作為f(x) = 0的近似解。這樣求解方程f(x)=0根近似值的方法稱為簡單迭代函數(shù)，g(x)稱為迭代函數(shù)；（3）式稱為迭代格式。　　3.1.2 簡單迭代法的幾何解析

24、　　求方程的根，在幾何上就是求直線y=x與曲線y=g(x)交點的橫坐標。　　3.1.3簡單迭代法的收斂依據(jù)　　定理若，則（設(shè)連續(xù)）（即根）。　　3.1.4 簡單迭代法收斂的條件　　定理1（充分條件）若g (x)滿足如下條件

25、　　x1, x2I, q (0, 1) 使得| g (x2)–g (x1)| q |x2 –x1| （Lipschitz條件）；　　，　　則（1）存在唯一點使；（2），由（3）式得{xk}且。（3）。　　注（1）條件（1）可改為，；&

26、lt;/p>　?。?）可以近似代替。　　3.1.5 簡單迭代法的局部收斂性　　若，使對都收斂，則稱上迭代是局部收斂的。　　定理2 若在根的某個鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則上迭代有局部收斂性。　　3.1.6 簡單迭代法的收斂階

27、　　定義設(shè)某迭代有局部收斂性，記ek=s–xk0, k=0, 1, …, 如果存在正實數(shù)r和c使成立，則稱該迭代是r階收斂的。r=1時又稱有線性收斂速度；r=2稱平方收斂。　　定理3 設(shè)I = [a, b]，，，，s = g(s) I，g (k) (s)=0, k=1, 2,…, m–1, g (m) (s) 0，則對任何x0 I (x0 s)，由迭代法產(chǎn)生的序列{x

28、k}以m階斂速收斂于s。　　3.2牛頓迭代法　　3.2.1牛頓迭代法原理　　設(shè)已知方程的近似根,則在附近可用一階泰勒多項式近似代替.因此, 方程可近似地表示為.用表示的根,它與的根差異不大.　　設(shè),由于滿足解得<

29、;/b>　　重復(fù)這一過程,得到迭代格式　　這就是著名的牛頓迭代公式,它相應(yīng)的不動點方程為　　.　　3.2.2牛頓迭代法的幾何解析　　在處作曲線的切線，切線方程為。令，可得切線與軸的交點坐

30、標，這就是牛頓法的迭代公式。因此，牛頓法又稱“切線法”。　　3.2.3牛頓迭代法的收斂性　　計算可得,設(shè)是的單根,有,則　　,　　故在附近,有.根據(jù)不動點原理知牛頓迭代法收斂.　　3.2.4牛

31、頓迭代法的收斂速度　　定理(牛頓法收斂定理) 設(shè)在區(qū)間上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足,在上不變號, 在上不等于0,令　　有.則對任意,牛頓迭代格式收斂于在中的唯一實根,并且:　　(1) 　　(2)&l

32、t;/p>　　(3) ,牛頓迭代法為2階收斂.　　3.2.5迭代過程的加速　　對不動點方程,它導(dǎo)出的迭代過程有可能發(fā)散,也可能收斂得非常緩慢.這時,我們有沒有辦法改進不動點方程,讓迭代過程收斂得快一些呢?　　(1)一個簡單的方法注意到和都是不動點方程,他們的加權(quán)平均</p&g

33、t;　　也是不動點方程,而且與有完全相同的不動點.適當(dāng)選取的值,可以使發(fā)散的迭代過程變得收斂,使收斂慢的迭代過程變得收斂迅速.　　(2)加速的原因在下面的實驗中我們可以看到,在不動點附近的導(dǎo)數(shù)值在很大程度上決定了迭代過程的收斂性.的絕對值越小,收斂性越好.因此,選擇使得.計算得到理想的值為,相應(yīng)可計算出.　　(3) 的選取

34、于理想的值為,當(dāng)變換不大時可以取近似計算.　　(4)回到牛頓迭代法的討論為求解方程,可以使用不動點方程,相應(yīng)的迭代函數(shù)為.對進行加速　　,　　所以,牛頓迭代法是對基本迭代格式進行加速的結(jié)果.　　3.3 弦割法&

35、lt;/b>　　為了避免計算導(dǎo)數(shù)，在牛頓迭代公式中，用差商代替導(dǎo)數(shù) ，得：（n=0,1,2，…）該迭代格式被稱為弦割法。　　從幾何上看，式實際上是由曲線上兩點（）和（）確定割線，該割線與 x 軸交點的橫坐標即為，故弦割法又稱為割線法。　　弦割法和牛頓迭代法都是線性化方法，牛頓迭代法在計算時

36、只用到前一步的值，而弦割法用到前面兩步的結(jié)果和，因此使用弦割法必須先給出兩個初始值，。　　4 簡短源程序及有關(guān)運行結(jié)果　?。?）用簡單迭代法求下列方程的根，要求有6位有效數(shù)字，　　改變初值的選取，對出現(xiàn)的情況進行總結(jié)分析；構(gòu)造收斂速度盡可能高的迭代法，并求根。

37、　　該題的相關(guān)簡短源程序如下：　　int main()　　{　　double x,y,m;　　static int k=1;　　cout<<"-----使用簡單迭代法求解

38、方程根-----"<<endl;　　cout<<"請輸入x的初始值：";　　cin>>x;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;

39、　　do{　　y=pow(3.0*x,1.0/3.0);　　m=fabs(y-x);　　x=y;　　cout<<k++<<" "&

40、lt;<setprecision(15)<<x<<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<&quo

41、t;最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x<<endl;　　return 0;　　}　　當(dāng)用戶輸入初始值x：1.7時，運行結(jié)果如下：

42、　　-----使用簡單迭代法求解方程根-----　　請輸入x的初始值：1.7　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 1.72130062072632　　2 1.7284599726899　　3 1.7308530

43、3449863　　4 1.73165145780992　　5 1.73191768075058　　6 1.73200643082582　　7 1.73203601519486　　8 1.7320458767635<

44、/p>　　9 1.73204916396553　　10 1.73205025970092　　11 1.73205062494621　　方程迭代次數(shù)為：11　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：1.73205<

45、p>　　當(dāng)用戶輸入初始值x：0.5時，運行結(jié)果如下：　　-----使用簡單迭代法求解方程根-----　　請輸入x的初始值：0.5　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 1.14471424255333　　2 1.50871119

46、766953　　3 1.65415342871819　　4 1.70568572459999　　5 1.72321747379912　　6 1.72910134326378　　7 1.73106709420906<

47、/p>　　8 1.73172284101854　　9 1.7319414784846　　10 1.73201436377398　　11 1.73203865955204　　12 1.73204675822047

48、　　13 1.73204945778502　　14 1.73205035764081　　方程迭代次數(shù)為：14　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：1.73205　　分析總結(jié)：由以上的1.7和0.5的初始值改變選取，得知改變初始值的選取，簡單迭代法求得

49、方程的根是一樣的。但是不同初始值的選取，迭代次數(shù)是有區(qū)別的，初始值取1.7要比初始值0.5的迭代次數(shù)要少，也就是收斂迭代要快些?？梢?，迭代收斂速度對初值極為敏感，我應(yīng)注意對初值的選取，這對我們的迭代結(jié)果非常重要。　　為了加快迭代收斂速度，我們構(gòu)造收斂速度更快些的牛頓迭代法，相應(yīng)的簡短源程序如下：　　int main()<p&

50、gt;　　{　　double x,y,m;　　static int k=1;　　cout<<"-----從簡單迭代改用牛頓迭代-----"<<endl;　　cout<<"

51、;請輸入x的初始值：";　　cin>>x;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　y=(x*x+3)/

52、(2*x);　　m=fabs(y-x);　　x=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x<<endl;　　}whi

53、le(m>1e-6);　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x<<endl;&l

54、t;/p>　　return 0;　　}　　當(dāng)用戶輸入初始值x：1.7時，運行結(jié)果如下：　　-----從簡單迭代改用牛頓迭代-----　　請輸入x的初始值：1.7<

55、/p>　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 1.73235294117647　　2 1.73205083391591　　3 1.73205080756888　　方程迭代次數(shù)為：3&l

56、t;p>　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：1.73205　　當(dāng)用戶輸入初始值x：0.5時，運行結(jié)果如下：　　-----從簡單迭代改用牛頓迭代-----　　請輸入x的初始值：0.5　　迭代過程及次數(shù)如下:

57、　　1 3.25　　2 2.08653846153846　　3 1.76216323998582　　4 1.73230809320663　　5 1.73205082667515　　6 1.73205

58、080756888　　方程迭代次數(shù)為：6　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：1.73205　?。?）用牛頓法求下列方程的根，要求有6位有效數(shù)字，　　x=ctgx；<

59、;p>　　改變初值的選取，對出現(xiàn)的情況進行總結(jié)分析；若要求方程的最小正根和在附近的根，初值應(yīng)如何選取？并討論初值的變化對收斂的影響。　　該題的相關(guān)簡短源程序如下：　　int main()　　{　　double x,y,m;&l

60、t;/p>　　static int k=1;　　cout<<"-----牛頓迭代法-----"<<endl;　　cout<<"請輸入x的初始值：";　　cin>>x;</b&

61、gt;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　y=x-(x-1/tan(x))/(1+1/(sin(x)*sin(x)));　　m=fabs(y-x);</

62、p>　　x=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x<<endl;　　}while(m>1e-6);

63、--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x<<endl;　　return 0;</b&

64、gt;　　}　　當(dāng)用戶輸入初始值x：2時，運行結(jié)果如下：　　-----牛頓迭代法-----　　請輸入x的初始值：2　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 0

65、.887661151780719　　2 0.859941013374919　　3 0.860333504769894　　4 0.860333589019376　　方程迭代次數(shù)為：4　　最

66、后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：0.860334　　當(dāng)用戶輸入初始值x：99.999時，運行結(jié)果如下：　　-----牛頓迭代法-----　　請輸入x的初始值：99.999　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 79.1883027503

67、099　　2 58.3749244190408　　3 30.0237656123831　　4 15.1638341163974　　5 11.6096938847769　　6 6.67811105713815</p&

68、gt;　　7 6.12638040581188　　8 5.8299585028425　　9 4.56168884653664　　10 2.38190182843893　　11 1.27691613638826<

69、p>　　12 0.811111992399693　　13 0.85891642747991　　14 0.860332489549806　　15 0.860333589018719　　16 0.86033358901938<p&

70、gt;　　方程迭代次數(shù)為：16　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：0.860334　　當(dāng)用戶輸入初始值x：100時，運行結(jié)果如下：　　-----牛頓迭代法-----　　請輸入x的初始值：100　　迭代過程及次數(shù)如下:</p

71、>　　1 79.2445582673355　　2 56.165706716695　　3 48.9800993652613　　4 25.3601509609488　　5 24.3424771997469<p

72、>　　6 15.8436061568687　　7 15.6906651318703　　8 15.6686824443753　　9 15.6053755658504　　10 15.3426025940274　　11

73、 13.3098511082317　　12 9.46971919055242　　13 9.495434776578　　14 9.5184160855492　　15 9.5282074460852　　16 9.529322

74、42946151　　17 9.52933440400997　　18 9.52933440536196　　方程迭代次數(shù)為：18　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：9.52933　　當(dāng)用戶輸入初始值x:100.01時，運行結(jié)果如

75、下：　　-----牛頓迭代法-----　　請輸入x的初始值：100.01　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 79.8080591795689　　2 41.9064566158694　　3

76、 23.9708169682737　　4 12.815882172519　　5 12.3048791629691　　6 11.2999328246923　　7 5.76592826020625　　8 4.28766607

77、950277　　9 2.5478767918594　　10 1.58736115121188　　11 0.785507437581892　　12 0.85694252263101　　13 0.86032727627411

78、6　　14 0.860333588997607　　15 0.86033358901938　　方程迭代次數(shù)為：15　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：0.860334　　分析總結(jié)：通過對初始值的改變選取，我們可以得到方程的多個

79、根，如上，我們?nèi)×顺跏贾捣謩e為2、99.999、100和100.01，可得到方程的兩個根：0.860334和9.52933。同時，由不同初始值的選取得到的結(jié)果說明，初始值的選取不同，不但能得到不同的方程根，而且還影響了迭代收斂速度的快慢。經(jīng)過多次的初始值選取，得出方程最小的正根為：0.860334，x=100附近的根為：9.52933。由上我們同時也得出，如果初始值越接近方程根，則方程的迭代速度越快。所以選取初始值時，我們可以先猜測方程

80、根的大概值作為初始值，這樣的初始值更接近方程根，可以使方程迭代收斂速度更快。當(dāng)然由式子可得到除了x=0之外的初始值，都可使方程迭代收斂。　　（3）探討用其它方法來求（1）和（2）中的非線性方程的根（如二分法、弦割法、拋物線法等）。　　該題的相關(guān)簡短源程序如下：　　int main()<

81、;p>　　{　　double y,m,g1,g2,x0,x1;　　static int k=1;　　cout<<"-----用弦割法求解(1)中的方程根-----"<<endl;　　c

82、out<<"請輸入兩個初始值x0和x1：";　　cin>>x0>>x1;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{

83、;　　g1=x0*x0-3;　　g2=x1*x1-3;　　y=x1-g2*(x1-x0)/(g2-g1);　　m=fabs(y-x0);　　x0=x1;　　x1=y;<

84、/b>　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x1<<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;

85、;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x1<<endl;　　return 0;

86、　　}　　當(dāng)用戶輸入初始值x0和x1:1.7 1.8時，運行結(jié)果如下：　　-----用弦割法求解(1)中的方程根-----　　請輸入兩個初始值x0和x1：1.7 1.8　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 1.7

87、3142857142857　　2 1.73203883495146　　3 1.73205080971984　　4 1.73205080756887　　5 1.73205080756888　　方程迭代次數(shù)為

88、：5　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：1.73205　　int main()　　{　　double y,m,g1,g2,x0,x1;　　static int k=1;&

89、lt;/p>　　cout<<"-----用弦割法求解(2)中的方程根-----"<<endl;　　cout<<"請輸入兩個初始值x0和x1：";　　cin>>x0>>x1;　　cout&

90、lt;<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　g1=x0-1/tan(x0);　　g2=x1-1/tan(x1);　　y=x1-g2*(x1-x0)/(g2-g1);</p&g

91、t;　　m=fabs(y-x0);　　x0=x1;　　x1=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x1<

92、;<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<se

93、tprecision(6)<<x1<<endl;　　return 0;　　}　　當(dāng)用戶輸入初始值x0和x1:15 33時，運行結(jié)果如下：　　-----用弦割法求解(2)中

94、的方程根-----　　請輸入兩個初始值x0和x1：15 33　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 -2.27678413398647　　2 0.777607459297928　　3 1.0291377069573

95、;　　4 0.867591220494422　　5 0.859741008533605　　6 0.860335927837928　　7 0.860333589776919　　8 0.860333589019379&l

96、t;p>　　9 0.86033358901938　　方程迭代次數(shù)為：9　　最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：0.860334　　（4）上面計算結(jié)果精度可達10位以上有效數(shù)字嗎？說明實現(xiàn)過程，并舉例。　　可以，我們隨便改變?nèi)我活}

97、中的代碼最后輸出行中setprecision(6)函數(shù)，只要將其中的數(shù)字6改成數(shù)字10，即可輸出10位有效數(shù)字的結(jié)果。我們將(1)題中的代碼改成十位有效數(shù)字輸出結(jié)果，如下：　　int main()　　{　　double x,y,m;

98、　static int k=1;　　cout<<"-----使用簡單迭代法求解方程根-----"<<endl;　　cout<<"請輸入x的初始值：";　　cin>>x;

99、　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　y=pow(3.0*x,1.0/3.0);　　m=fabs(y-x);　　x=y;

100、　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x<<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;<p

101、>　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保十位有效數(shù)字）："<<setprecision(10)<<x<<endl;　　return 0;<b&

102、gt;　　}　　當(dāng)用戶輸入初始值x：1.7時，運行結(jié)果如下：　　-----使用簡單迭代法求解方程根-----　　請輸入x的初始值：1.7　　迭代過程及次數(shù)如下:　　1 1.72130062072632<

103、/p>　　2 1.7284599726899　　3 1.73085303449863　　4 1.73165145780992　　5 1.73191768075058　　6 1.73200643082582<

104、;p>　　7 1.73203601519486　　8 1.7320458767635　　9 1.73204916396553　　10 1.73205025970092　　11 1.73205062494621　　方

105、程迭代次數(shù)為：11　　最后方程的根為（保十位有效數(shù)字）：1.732050625　　參考文獻　　[1] 嚴蔚敏吳偉民．?dāng)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語言版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1997.4　　[2] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武

106、漢.華中科技大學(xué)出版社，2006.7.　　[3] 清華大學(xué)、北京大學(xué)計算方法編寫組。計算方法[M]。北京?？茖W(xué)出版社，1980　　[4] 孫淑霞，肖陽春，魏琴等.C/C++程序設(shè)計教程（第2版）。北京：電子工業(yè)出版社，2007.03　　[5] 譚浩強。C++程序設(shè)計。北京：清華大學(xué)出版社，2004,06</

107、p>　　附件　　源程序及有關(guān)運行結(jié)果：　?。?）　　簡單迭代源程序：　　#include<iostream></

108、p>　　#include<cmath>　　#include <iomanip>　　using namespace std;　　int main()　　{<

109、;p>　　double x,y,m;　　static int k=1;　　cout<<"-----使用簡單迭代法求解方程根-----"<<endl;　　cout<<"請輸入x的初始值：";&

110、lt;b>　　cin>>x;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　y=pow(3.0*x,1.0/3.0);　　m=fab

111、s(y-x);　　x=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x<<endl;　　}while(m>1e-6);

112、;　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x<<endl;　　retu

113、rn 0;　　}　　改用牛頓迭代源程序：　　#include<iostream>　　#include<cmath>　　#include <io

114、manip>　　using namespace std;　　int main()　　{　　double x,y,m;　　static int k=1;<p&

115、gt;　　cout<<"-----從簡單迭代改用牛頓迭代-----"<<endl;　　cout<<"請輸入x的初始值：";　　cin>>x;　　cout<<"迭代過程

116、及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　y=(x*x+3)/(2*x);　　m=fabs(y-x);　　x=y;　　cout<

117、;<k++<<" "<<setprecision(15)<<x<<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："&l

118、t;<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x<<endl;　　return 0;　　}<

119、b>　?。?）　　#include<iostream>　　#include<cmath>　　#include <iomanip>　　using namespace std;<p&g

120、t;　　int main()　　{　　double x,y,m;　　static int k=1;　　cout<<"-----牛頓迭代法-----"<<endl;&l

121、t;p>　　cout<<"請輸入x的初始值：";　　cin>>x;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{</p&

122、gt;　　y=x-(x-1/tan(x))/(1+1/(sin(x)*sin(x)));　　m=fabs(y-x);　　x=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)

123、<<x<<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）：&quo

124、t;<<setprecision(6)<<x<<endl;　　return 0;　　}　?。?）　　弦割法求（1）的源程序

125、：　　#include<iostream>　　#include<cmath>　　#include <iomanip>　　using namespace std;　　int main()</

126、p>　　{　　double y,m,g1,g2,x0,x1;　　static int k=1;　　cout<<"-----用弦割法求解(1)中的方程根-----"<<endl;&l

127、t;p>　　cout<<"請輸入兩個初始值x0和x1：";　　cin>>x0>>x1;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{

128、　　g1=x0*x0-3;　　g2=x1*x1-3;　　y=x1-g2*(x1-x0)/(g2-g1);　　m=fabs(y-x0);　　x0=x1;

129、　x1=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x1<<endl;　　}while(m>1e-6);　　--k;

130、　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x1<<endl;　　return 0;

131、;　　}　　弦割法求（2）的源程序：　　#include<iostream>　　#include<cmath>　　#include <iomanip>　　u

132、sing namespace std;　　int main()　　{　　double y,m,g1,g2,x0,x1;　　static int k=1;　　cout<<"

133、-----用弦割法求解(2)中的方程根-----"<<endl;　　cout<<"請輸入兩個初始值x0和x1：";　　cin>>x0>>x1;　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<end

134、l;　　do{　　g1=x0-1/tan(x0);　　g2=x1-1/tan(x1);　　y=x1-g2*(x1-x0)/(g2-g1);　　m=fabs(y-x0);

135、　　x0=x1;　　x1=y;　　cout<<k++<<" "<<setprecision(15)<<x1<<endl;　　}while(

136、m>1e-6);　　--k;　　cout<<"方程迭代次數(shù)為："<<k<<endl<<"最后方程的根為（保六位有效數(shù)字）："<<setprecision(6)<<x1<<endl;<

137、/p>　　return 0;　　}　　（4）　　#include<iostream>　　#include<cma

138、th>　　#include <iomanip>　　using namespace std;　　int main()　　{　　double x,y,m;

139、　　static int k=1;　　cout<<"-----使用簡單迭代法求解方程根-----"<<endl;　　cout<<"請輸入x的初始值：";　　cin>>x;

140、　　cout<<"迭代過程及次數(shù)如下:"<<endl;　　do{　　y=pow(3.0*x,1.0/3.0);　　m=fabs(y-x);<b

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