求解非線性方程的迭代算法研究.pdf

1、在利用數(shù)學(xué)工具研究社會(huì)現(xiàn)象和自然現(xiàn)象，或解決工程技術(shù)等問(wèn)題時(shí)，很多問(wèn)題都可以歸結(jié)為非線性方程f(x)=0的求解問(wèn)題，無(wú)論在理論研究方面還是在實(shí)際應(yīng)用中，求解非線性方程都占了非常重要的地位。迭代法是求解非線性方程f(x)=0根的一種最重要的方法，而迭代法的優(yōu)劣對(duì)于非線性問(wèn)題求解速度的快慢和結(jié)果的好壞都有很大的影響，所以從實(shí)際出發(fā)，進(jìn)行高計(jì)算效能迭代算法的研究具有重要的科學(xué)價(jià)值和實(shí)際意義。本文討論了求解非線性方程的迭代算法研究，這里所說(shuō)的迭

2、代算法是指在Newton 法基礎(chǔ)上改進(jìn)的算法。主要討論基于Newton 法的迭代函數(shù)，通過(guò)增加迭代、近似代替或增加參數(shù)，提出了一些新的牛頓法的變式，給出了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解單根的迭代方法，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了新算法的有效性。
　　 全文共分為六章。
　　 第一章概述了相關(guān)的基礎(chǔ)理論，主要介紹了非線性方程的研究背景和求解非線性方程的常用方法—迭代法，詳細(xì)回顧了Newton 法及其研究現(xiàn)狀。
　　 第二章討論了通過(guò)結(jié)合經(jīng)

3、典牛頓法與幾何平均牛頓法，提出了一個(gè)新的求解非線性方程的六階收斂算法。在每次迭代過(guò)程中只需計(jì)算兩個(gè)函數(shù)值和兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值，而且無(wú)需計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)。對(duì)一組普遍所采用的測(cè)試問(wèn)題而言，數(shù)值計(jì)算表明該算法所需要的迭代次數(shù)和效率指數(shù)對(duì)大多數(shù)的問(wèn)題都優(yōu)于經(jīng)典牛頓法和幾何平均牛頓法。
　　 第三章討論在已有算法的基礎(chǔ)上，提出了構(gòu)造解非線性方程新算法的一種通用的框架，即綜合利用各種不同插值方法的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)令兩個(gè)同階的迭代式近似相等，將某一式子的近

4、似值代入其它同階的迭代式中，可以導(dǎo)出同階收斂且具有自己特性的新的或已存在的算法,采用通用例子進(jìn)行的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明新算法能與經(jīng)典牛頓法媲美。而且，許多求解非線性方程的算法如著名的四階收斂Ostrowski算法也可在此框架下得到。
　　 第四章討論了將已有算法的存在形式進(jìn)行變形，可以歸納為統(tǒng)一的形式，通過(guò)增加參數(shù)得到了更一般的算法，收斂性分析證明在參數(shù)滿足特定關(guān)系的條件下，將得到不同收斂階的新算法或已存在的算法。
　　 第五章