數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　學(xué)院名稱(chēng)： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)名稱(chēng)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) </p><p>　　年級(jí)班別： </p><p>　　姓 名： </p><

2、p>　　指導(dǎo)教師： </p><p><b>　　2012年05月</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　摘 要 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最主要最基本的研究對(duì)象，數(shù)與形是緊密相連的，在一些特定的條件下，數(shù)與形是可以相互轉(zhuǎn)化的，這就是“數(shù)形結(jié)合”。</p

3、><p>　　數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要思想，在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位。本文中主要介紹了數(shù)形結(jié)合研究背景及意義；在中學(xué)教學(xué)中的地位；應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則和途徑以及數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)解題中的應(yīng)用等問(wèn)題。通過(guò)分析、比較和歸納充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的特點(diǎn)和優(yōu)越性，從而在實(shí)際教學(xué)中要將數(shù)形結(jié)合思想融匯到課堂中，培養(yǎng)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)。</p><p>　　關(guān)鍵詞 數(shù)與形；數(shù)形結(jié)合；

4、中學(xué)數(shù)學(xué)</p><p>　　The combination of shapes and number in the middle school</p><p>　　Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have cl

5、ose relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.</p><p>　　The combination of shapes and number is an important thought in mathemati

6、cs studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle sch

7、ool teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and</

8、p><p>　　Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p&g

9、t;<p>　　Abstract2</p><p><b>　　前 言4</b></p><p>　　1 數(shù)形結(jié)合思想方法概述4</p><p>　　1.1 數(shù)形結(jié)合思想的研究背景4</p><p>　　1.2數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用5</p><p>　　2 數(shù)形結(jié)

10、合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位5</p><p>　　2.1從新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合5</p><p>　　2.2從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合5</p><p>　　2.3從高考題設(shè)計(jì)背景來(lái)看數(shù)形結(jié)合6</p><p>　　3 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的途徑和原則6</p><p>　　3.1．

11、數(shù)形結(jié)合的途徑6</p><p>　　3.2．?dāng)?shù)形結(jié)合的原則7</p><p>　　4 數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)解題中的應(yīng)用7</p><p>　　4.1“數(shù)”中思“形”7</p><p>　　4.1.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題7</p><p>　　4.1.2 利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算8<

12、/p><p>　　4.1.3 數(shù)形結(jié)合思想在解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的應(yīng)用8</p><p>　　4.1.4 利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小9</p><p>　　4.1.5 數(shù)形結(jié)合思想在解方程問(wèn)題中的應(yīng)用9</p><p>　　4.1.6數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題10</p><p>　　4.2“形”中覓“數(shù)”10</p

13、><p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)11</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)11</b></p><p><b>　　致謝12</b></p><p><b>　　前言</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)思想中，有一類(lèi)思想是

14、體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱(chēng)之為基本數(shù)學(xué)思想。中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等等。中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的課程。</p

15、><p>　　一直以來(lái)數(shù)與形就是兩個(gè)不可分割的對(duì)象，他們?cè)谝欢ǔ潭壬峡梢韵嗷マD(zhuǎn)換，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”，即數(shù)形結(jié)合在一起好處很多，而獨(dú)立分開(kāi)卻會(huì)帶來(lái)很多麻煩，從這可以看出數(shù)與形的基本性質(zhì)，數(shù)與形是不可分割的，數(shù)形結(jié)合在實(shí)際問(wèn)題中是緊密結(jié)合在一起的。而數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中若能“以數(shù)示形，以形思數(shù)，數(shù)形滲透”，

16、則能加強(qiáng)知識(shí)的橫縱聯(lián)系（1）。</p><p>　　對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)解題能力，特別是在一些題目中如選這題、填空題，在小題目中經(jīng)常考察數(shù)形結(jié)合思想，如果熟練掌握了數(shù)形結(jié)合思想并加以巧妙利用，那么我們將取得事半功倍的效果，能幫助我們?cè)诟呖贾心苋〉脮r(shí)間和效率的優(yōu)勢(shì)，最終讓你取得優(yōu)異成績(jī)。那么接下來(lái)我們將要研究數(shù)形結(jié)合思想在我們中學(xué)中到底有哪些用處，我們解什么樣問(wèn)題時(shí)需

17、要用到數(shù)形結(jié)合思想？</p><p>　　1 數(shù)形結(jié)合思想方法概述</p><p>　　1.1 數(shù)形結(jié)合思想的研究背景</p><p>　　數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式作為研究的對(duì)象，而數(shù)和形是相互聯(lián)系，也是可以相互轉(zhuǎn)化的。</p><p>　　早在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過(guò)程中，就把數(shù)和形式聯(lián)系起來(lái)了（8）。我國(guó)宋元

18、時(shí)期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)畫(huà)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。</p><p>　　“數(shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于1964年1月撰寫(xiě)的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》的科普小冊(cè)子中?！皵?shù)形結(jié)合”的應(yīng)用大致又可以分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形過(guò)于簡(jiǎn)單，直觀觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦

19、值，如邊長(zhǎng).角度等等?！耙孕沃鷶?shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法。</p><p>　　1.2數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用</p><p>　　數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義。首先，“數(shù)形結(jié)合”能更好幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握與記憶。例如：在研究函數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)圖形來(lái)記憶有關(guān)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，像函數(shù)的定義域.值域.單調(diào)性.奇偶性.周期性

20、.有界性以及凹凸性等。 其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力。第三，數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。</p><p>　　“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之就是：見(jiàn)到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作

21、用。在中學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則。</p><p>　　2 數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位</p><p>　　2.1從新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合</p><p>　　數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹(shù)立現(xiàn)代思維意識(shí)：第一通過(guò)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進(jìn)這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初

22、步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。第二通過(guò)數(shù)形結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生 從多角度、多層次出發(fā)地思考問(wèn)題，養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。第三通過(guò)數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動(dòng)態(tài)思維方式，也就是以運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問(wèn)題，更好地把握事情的本質(zhì)。</p><p>　　由此可見(jiàn)，新課程把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想，要求教師能充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，挖掘它的教學(xué)功能和解題功能。</p><p

23、>　　2.2從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合</p><p>　　數(shù)學(xué)基本知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)不可分割的有機(jī)組成部份。數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想和手段，它是人們探索數(shù)學(xué)真理，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中逐步積累起來(lái)的，并蘊(yùn)含于各個(gè)數(shù)學(xué)分支的公理、定理、公式、法則和解決問(wèn)題的過(guò)程中，是人類(lèi)寶貴的精神財(cái)富。數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想和方法，兩者的聯(lián)系是辯證的統(tǒng)一。這就決

24、定了在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不能代替數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，課堂教學(xué)的目的，應(yīng)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師在課堂教學(xué)中，既要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，更要突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，通過(guò)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，使我們的學(xué)生畢業(yè)之后，“不論做什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)思想方法和著眼點(diǎn)，都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受用?！保?）然而在課堂教學(xué)中教師過(guò)于呆板地強(qiáng)調(diào)著邏輯思維能力。在教學(xué)中忽視對(duì)

25、直觀圖形的利用，不能很好地利用具體形象來(lái)化解對(duì)書(shū)本中一些抽象的結(jié)論的理解。忽視學(xué)生形象思維的培養(yǎng)。學(xué)生對(duì)于現(xiàn)在這種過(guò)于陳舊的課堂教學(xué)模式不能產(chǎn)生“親和感”，感到枯燥，厭惡。事實(shí)上教材中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)容很多，可</p><p>　　2.3從高考題設(shè)計(jì)背景來(lái)看數(shù)形結(jié)合</p><p>　　隨著數(shù)學(xué)教育改革不斷深入，高考命題朝著多樣性和多變性發(fā)展，增加了應(yīng)用題，開(kāi)放題，情景題，強(qiáng)調(diào)檢測(cè)

26、學(xué)生的創(chuàng)造能力。重在考查對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在考查知識(shí)的綜合應(yīng)用，著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查。高考試題這種以能力立意的積極導(dǎo)向，決定了我們?cè)诮虒W(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。而數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。利用數(shù)形結(jié)合設(shè)題，一方面考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言的理解能力，語(yǔ)言的互補(bǔ)、互譯、互化能力，即在數(shù)學(xué)本質(zhì)上的有欲轉(zhuǎn)化能力，另一方面考查學(xué)生的

27、構(gòu)圖能力，以及對(duì)圖形的想象能力，綜合應(yīng)用知識(shí)的能力；考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力最能展示學(xué)生能否進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思維”。因此數(shù)形結(jié)合在每年的高考中都是一道亮麗的風(fēng)景線，如果能從圖形特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，又能從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征，并準(zhǔn)確構(gòu)圖那么很快就能得出正確答案。 </p><p>　　3 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的途徑和原則</p><p>　　3.1．?dāng)?shù)形結(jié)合的途徑</p><p&

28、gt;　?。?）通過(guò)坐標(biāo)系形題數(shù)解</p><p>　　借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問(wèn)題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過(guò)輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧。</p><p>　　實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)

29、數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義（3）。如等式</p><p>　　（2）通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解</p><p>　　許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化（4）。例如，將a＞0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2－2與余弦定理溝通，將a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)和點(diǎn)溝

30、通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。</p><p>　　3.2．?dāng)?shù)形結(jié)合的原則</p><p><b>　?。?）等價(jià)性原則</b></p><p>

31、;　　在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。</p><p><b>　　（2）雙向性原則</b></p><p>　　在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)

32、題進(jìn)行幾何分析，在許多時(shí)候是很難行得通的。</p><p>　　例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。</p><p><b>　?。?）簡(jiǎn)單性原則</b></p><p>　　就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來(lái)

33、敘述解題過(guò)程，則取決于那種方法更為簡(jiǎn)單。而不是去刻意追求一種流性的模式——代數(shù)問(wèn)題運(yùn)用幾何方法，幾何問(wèn)題尋找代數(shù)方法。</p><p>　　4 數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)解題中的應(yīng)用</p><p>　　4.1“數(shù)”中思“形”</p><p>　　4.1.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題</p><p>　　一般情況我們用圓來(lái)表示集合，兩個(gè)圓

34、相交則表示兩個(gè)集合有公共的元素，兩個(gè)圓相離就表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共的元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問(wèn)題。</p><p>　　例1 某校先后舉行數(shù)理化三科競(jìng)賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)807人，物理739人，化學(xué)437人；至少參加兩科的：數(shù)理593人，數(shù)化371人，理化267人；三科都參加的213人，試計(jì)算參加競(jìng)賽總?cè)藬?shù)。</p><p>　　解 我們用圓A、B、C分別

35、表示參加數(shù)理化競(jìng)賽的人數(shù)，那么三個(gè)圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用n表示集合的元素，則有：</p><p>　　即：參加競(jìng)賽總?cè)藬?shù)為965人.</p><p>　　4.1.2 利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算</p><p><b>　　例2 設(shè)求</b></p><p>　　分析 分別先確定集合A，B的元素，

36、，然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來(lái)，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫(xiě)出答案：</p><p><b>　　(公共部分)</b></p><p>　　(整個(gè)數(shù)軸都被覆蓋)</p><p>　　(除去重合部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　(除去覆蓋部分剩下的區(qū)域) </p><p>　　4.1.3

37、數(shù)形結(jié)合思想在解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p>　　例3 如圖，已知、，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反向后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是（ ）</p><p>　　A．B．C．D．</p><p>　　[解題思路] 利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)，將折線的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為折線的長(zhǎng)度</p><p>　　[解析] 設(shè)

38、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則光線所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng)</p><p>　　本例是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的典范，關(guān)鍵是靈活利用平面幾何知識(shí)與對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一般地，在已知直線上求一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值，需利用對(duì)稱(chēng)將兩條折線由同側(cè)化為異側(cè)，在已知直線上求一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的最大值，需利用對(duì)稱(chēng)，將兩條折線由異側(cè)化為同側(cè)，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化(9)。</p><p>　　4.1.4

39、 利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小</p><p>　　一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較(5)。如：</p><p>　　例4 試判斷三個(gè)數(shù)間的大小順序．</p><p>　　分析 這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)</p><p><b>　　函數(shù)在時(shí)，</b></p>&

40、lt;p>　　所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這</p><p>　　三個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀</p><p>　　地看出當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)</p><p>　　的位置，從而可得出結(jié)論：．</p><p>　　4.1.5 數(shù)形結(jié)合思想在解方程問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p><b>　　例

41、5 解方程</b></p><p>　　分析 由方程兩邊的表達(dá)式我們可以</p><p>　　聯(lián)想起函數(shù),作出這兩個(gè)</p><p>　　函數(shù)的圖像,這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)</p><p>　　為方程的近似解，可以看出方程的近似解為．</p><p>　　4.1.6數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題</p>

42、;<p>　　利用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問(wèn)題，特別是一些三角函數(shù)的題目和我們通常見(jiàn)到的線性規(guī)劃問(wèn)題（6）。</p><p>　　例6 已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值.</p><p>　　解 由的結(jié)構(gòu)形式，我們可以聯(lián)想到幾何當(dāng)中直線的斜率公式，</p><p>　　即可以看成過(guò)點(diǎn)與點(diǎn) 的直線的斜率．

43、A是動(dòng)點(diǎn)且在圓上，為定點(diǎn)，作出圖象，</p><p><b>　　由圖可知：，則，</b></p><p>　　所以圓的切線的傾斜角為，</p><p><b>　　故．</b></p><p>　　4.2“形”中覓“數(shù)”</p><p>　　例7 設(shè)方程，試討論取不同范圍的

44、值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況．</p><p>　　分析 我們可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)與</p><p>　　圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)表示</p><p>　　平行于軸的所有直線，從圖像可以直觀看出:</p><p>　?、佼?dāng)時(shí),與沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無(wú)解;</p><p>　?、诋?dāng)時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn),原方程有兩個(gè)不同的

45、解;</p><p>　?、郛?dāng)時(shí),與有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)；</p><p>　　④當(dāng)時(shí),與有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；</p><p>　?、莓?dāng)時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)．</p><p>　　例8 已知直線 和雙曲線 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的不同取

46、值個(gè)數(shù)。</p><p>　　分析 作出雙曲線 的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（ ）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 。</p><p>　　所以過(guò)（ ）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)取兩個(gè)不同值，此外，過(guò)（ ）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)取兩個(gè)不同的值，故有四個(gè)不同取值。&l

47、t;/p><p>　　在做很多題目時(shí)把圖形畫(huà)出來(lái)，問(wèn)題自然就解決了，利用“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決幾何問(wèn)題，它具有直觀性 、靈活性等特點(diǎn)。數(shù)形完美的結(jié)合，就能達(dá)到事半功倍的效果（7）。</p><p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微。總之，數(shù)形結(jié)合思想方法是一種非常有用的數(shù)學(xué)方法，它能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)

48、單化，抽象問(wèn)題具體化(10)。另外，它對(duì)于我們進(jìn)行數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)研究是非常有幫助的。因此，我們應(yīng)該在平時(shí)的學(xué)習(xí)和研究中注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，真正做到胸中有圖，圖中有數(shù)，不斷拓展我們的思維。在教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中, 要充分挖掘教材內(nèi)容, 將數(shù)形結(jié)合思想滲透于具體的問(wèn)題中, 在解決問(wèn)題中讓學(xué)生正確理解 “數(shù)”與 “形” 的相對(duì)性, 使之有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。讓學(xué)生真正的將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到解題當(dāng)中去，

49、真正的做到學(xué)以致用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M]. 北京: 人民教育出版社, 2003.</p><p>　　[2]周春荔，《數(shù)學(xué)觀與方法論》，首都師范大學(xué)出版社，1996年8月第一次出版.</p><p>　　[3]張亮

50、．?dāng)?shù)形結(jié)合的幾個(gè)運(yùn)用[J]．井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)．2003 (05)．</p><p>　　[4]劉雨智.淺談數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用[J].各界(科技與教育),2009,(02)．</p><p>　　[5]喬家瑞.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧[M] .第一版.首都師范大學(xué)出版社,1994.</p><p>　　[6]何新藝. 數(shù)形結(jié)合在極值與極大值問(wèn)題中的應(yīng)用[J]. 中

51、國(guó)校外教育, 2010, 12: 107-107.</p><p>　　[7]盧丙仁. 數(shù)形結(jié)合的思想方法在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 開(kāi)封教育學(xué)院學(xué)報(bào) , 2003,(04).</p><p>　　[8]Michael J. Gilbert, Jacqueline Coomes. What mathematics do high school teacher need to know[J]

52、. Mathematics Teacher.2010,103.</p><p>　　[9][George Polya George Polya. How to solve it (Second edition)[M].Princeton University Press , Princeton New Jersey, 1973.</p><p>　　[10]Gianluca Fusai,

53、Corridor options and arc-sine law[J] Ann. Appl. probab.Volume 10,Number 2 .2000，634-663.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在論文的準(zhǔn)備和寫(xiě)作過(guò)程中，筆者得到了**老師的悉心指導(dǎo)和熱情幫助。無(wú)論是從開(kāi)始定方向，還是在查資料準(zhǔn)備的工程中，一直都耐心的給與我