概率論論文--隨機(jī)過(guò)程概述

1、<p><b>　　概率論課期中報(bào)告</b></p><p>　　題目： 隨機(jī)過(guò)程概述 </p><p>　　姓名： </p><p>　　班級(jí): </p><p>　　學(xué)院: 信息與通信工程學(xué)院 &

2、lt;/p><p>　　2010年5月23日</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文通過(guò)對(duì)隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)字特征的研究和整理，以邏輯化的方式得出隨機(jī)過(guò)程的一系列有用的性質(zhì)，并在鋪敘過(guò)程中介紹了隨機(jī)過(guò)程理論發(fā)展的歷程和實(shí)際中應(yīng)用的情況。</p><p><b>　　關(guān)鍵詞</b>

3、</p><p>　　隨機(jī)過(guò)程，概率分布，數(shù)字特征，平穩(wěn)過(guò)程，寬平穩(wěn)過(guò)程</p><p><b>　　正文</b></p><p><b>　　隨機(jī)過(guò)程概述</b></p><p>　　隨機(jī)過(guò)程(Stochastic Process)是一連串隨機(jī)事件動(dòng)態(tài)關(guān)系的定量描述。隨機(jī)過(guò)程論與其他數(shù)學(xué)分支如位勢(shì)

4、論、微分方程、力學(xué)及復(fù)變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。隨機(jī)過(guò)程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過(guò)程的理論來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，把一組隨機(jī)變量定義為隨機(jī)過(guò)程。在研究隨機(jī)過(guò)程時(shí)，人們透過(guò)表面的偶然性描述出必然的內(nèi)在規(guī)律并以概率的

5、形式來(lái)描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學(xué)科的魅力所在。</p><p>　　隨機(jī)過(guò)程整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由柯?tīng)柲缏宸蚝投挪嫉於ǖ?。這一學(xué)科最早源于對(duì)物理學(xué)的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的研究，及后來(lái)愛(ài)因斯坦、維納、萊維等人對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的開(kāi)創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱(chēng)之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義，直到今日這一過(guò)程仍是重要

6、的研究課題。隨機(jī)過(guò)程一般理論的研究通常認(rèn)為開(kāi)始于20世紀(jì)30年代。1931年，柯?tīng)柲缏宸虬l(fā)表了《概率論的解析方法》，1934年A·辛飲發(fā)表了《平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論》，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程的理論基礎(chǔ)。1953年，杜布出版了名著《隨機(jī)過(guò)程論》，系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過(guò)程基本理論。</p><p><b>　　隨機(jī)過(guò)程的定義</b></p><p&g

7、t;　　隨機(jī)過(guò)程的有兩個(gè)等價(jià)的定義：</p><p>　　定義一：設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn),樣本空間為Ω={ω}，參數(shù)T∈(-∞,+∞),如果對(duì)每個(gè)ω∈Ω,總有一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)X(ω,t)與之對(duì)應(yīng),這樣對(duì)于所有的ω∈Ω,就得到一族時(shí)間t的函數(shù),我們稱(chēng)此時(shí)間t的函數(shù)族為隨機(jī)過(guò)程,而族中每一個(gè)函數(shù)稱(chēng)為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。</p><p>　　定義二：設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，樣本空間為Ω={ω}，參數(shù)T

8、∈(-∞,+∞),如果對(duì)任意t∈T ，有一定義在Ω上的隨機(jī)變量X(ω,t)與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng){X(ω,t),t∈T}為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為{X(t),t∈T}或{X(t)},也可記為X(t)。</p><p><b>　　研究方法</b></p><p>　　研究隨機(jī)過(guò)程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是概率方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時(shí)和隨機(jī)微分方程等；另一類(lèi)是分析的

9、方法，其中用到測(cè)度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。實(shí)際研究中常常兩種方法并用。另外組合方法和代數(shù)方法在某些特殊隨機(jī)過(guò)程的研究中也有一定作用。研究的主要內(nèi)容有：多指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程、無(wú)窮質(zhì)點(diǎn)與馬爾可夫過(guò)程、概率與位勢(shì)及各種特殊過(guò)程的專(zhuān)題討論等。中國(guó)學(xué)者在平穩(wěn)過(guò)程、馬爾科夫過(guò)程、鞅論、極限定理、隨機(jī)微分方程等方面做出了較好的工作。</p><p>　　一個(gè)實(shí)際的隨機(jī)過(guò)程是任意一個(gè)受概率支配的過(guò)程，例子有：①

10、看做是受孟德?tīng)栠z傳學(xué)支配的群體的發(fā)展；②受分子碰撞影響的微觀質(zhì)點(diǎn)的布朗運(yùn)動(dòng)，或者是宏觀空間的星體運(yùn)動(dòng)；③賭場(chǎng)中一系列的賭博；④公路一指定點(diǎn)汽車(chē)的通行。 　　在每一種情形，一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)在演化，這就是說(shuō)它的狀態(tài)隨著時(shí)間而改變，于是，在時(shí)間t的狀態(tài)具有偶然性，它是一個(gè)隨機(jī)變量x(t)，參數(shù)t的集通常是一個(gè)區(qū)間(連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程)或一個(gè)整數(shù)集合(離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程)。然而，有些作者只把隨機(jī)過(guò)程這個(gè)術(shù)語(yǔ)用于連續(xù)參數(shù)的情形。</p>

11、<p>　　如果系統(tǒng)的狀態(tài)用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，x(t)就是數(shù)值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更為復(fù)雜。在本條的討論中，通常限于數(shù)值的情形。當(dāng)狀態(tài)變化時(shí)，它的值確定一個(gè)時(shí)間的函數(shù)——樣本函數(shù)，支配過(guò)程的概率規(guī)律確定賦予樣本函數(shù)的各種可能性質(zhì)的概率。</p><p>　　數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過(guò)程是由實(shí)際隨機(jī)過(guò)程概念引起的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。人們研究這種過(guò)程，是因?yàn)樗菍?shí)際隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，或者是因?yàn)樗膬?nèi)在數(shù)學(xué)

12、意義以及它在概率論領(lǐng)域之外的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上的隨機(jī)過(guò)程可以簡(jiǎn)單的定義為一組隨機(jī)變量，即指定一參數(shù)集，對(duì)于其中每一參數(shù)點(diǎn)t指定一個(gè)隨機(jī)變量x(t)。如果回憶起隨機(jī)變量自身就是一個(gè)函數(shù)，以ω表示隨機(jī)變量x(t)的定義域中的一點(diǎn)，并以x(t，ω)表示隨機(jī)變量在ω的值，則隨機(jī)過(guò)程就由剛才定義的點(diǎn)偶(t，ω)的函數(shù)以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個(gè)二元函數(shù)就定義一個(gè)ω的函數(shù)，即以x(t)表示的隨機(jī)變量。如果固定ω，這個(gè)二元函數(shù)就定義一個(gè)t的函數(shù)

13、，這是過(guò)程的樣本函數(shù)。</p><p>　　一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的概率分配通常是由指定它的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布來(lái)給定的，這些聯(lián)合分布以及由它們誘導(dǎo)出來(lái)的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質(zhì)的概率。例如，如果to是一個(gè)參數(shù)值，樣本函數(shù)在to取正值的概率是隨機(jī)變量x(to)有正值的概率。在這個(gè)水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯(lián)合概率分布對(duì)應(yīng)一隨機(jī)過(guò)程。</p><p><b>　　分類(lèi)</

14、b></p><p>　　按狀態(tài)和時(shí)間是可列集還是連續(xù)集分類(lèi)：</p><p>　　連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程:T是連續(xù)集,且t∈T,X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱(chēng)過(guò)程{X(t),t?T}為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。</p><p>　　離散型隨機(jī)過(guò)程:T是連續(xù)集，且t∈T,X(t)是離散型隨機(jī)變量，則稱(chēng)過(guò)程{X(t),t∈T}為離散型隨機(jī)過(guò)程。</p><p&

15、gt;　　連續(xù)型隨機(jī)序列:T是可列集,且t∈T,X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱(chēng)過(guò)程{X(t),t∈T}為連續(xù)型隨機(jī)序列。</p><p>　　離散型隨機(jī)序列:T是可列集, 且t∈T, X(t)為離散型隨機(jī)變量,則稱(chēng)過(guò)程{X(t),t∈T}為離散型隨機(jī)序列。通常T取為T(mén) ={0,1,2…}或T ={0, ± 1，±2…},此時(shí)隨機(jī)序列常記成{Xn,n=0,1,…}或{Xn,n≥0}。</p

16、><p><b>　　按分布特性分類(lèi)：</b></p><p>　　依照過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴(lài)關(guān)系分類(lèi)。例如：獨(dú)立增量過(guò)程，馬爾可夫過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程等。</p><p><b>　　隨機(jī)過(guò)程的概率分布</b></p><p><b>　　N維分布函數(shù)</b></p>

17、<p>　　設(shè){X(t),t∈T}是隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意整數(shù)n≥1及T中任意n個(gè)不同的參數(shù)t1,t2，…，tn，稱(chēng)隨機(jī)向量（X(t1),X(t2),…,X(tn)）的分布函數(shù)</p><p>　　為隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的n維分布函數(shù).</p><p>　　變化n及t1,t2，…，tn所得到的有限維分布函數(shù)的全體</p><p>　　稱(chēng)為{X(t)

18、,t∈T}的有限維分布函數(shù)族。</p><p>　　當(dāng)n=1時(shí),得到一維分布函數(shù)F(x,t)=P{X(t)≤x},</p><p>　　一維分布函數(shù)的全體{F(x,t), t∈T}稱(chēng)為一維分布函數(shù)族.</p><p><b>　　隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征</b></p><p>　　隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族能完整地刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)

19、計(jì)特征，但是在人們的生活中，根據(jù)觀察往往只能得到隨機(jī)過(guò)程的部分資料，用它來(lái)確定有限維分布函數(shù)是困難的甚至不可能的，因而像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征那樣，有必要引入隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征。</p><p>　　隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征包括均值函數(shù)、均方值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)。</p><p>　　從理論角度來(lái)看，僅僅研究均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)當(dāng)然是代替不了對(duì)整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的研究，但是由于

20、它們確實(shí)刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程的主要統(tǒng)計(jì)特性，而且遠(yuǎn)較有限維分布函數(shù)族易于觀察和實(shí)際計(jì)算，因而對(duì)于應(yīng)用課題而言，它們常常能夠起重要作用。</p><p><b>　　二維隨機(jī)過(guò)程</b></p><p><b>　　定義</b></p><p>　　X(t)、Y(t)為定義在同一樣本空間Ω和同一參數(shù)集T上的隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意t∈T

21、，若(X(t),Y(t))是二維隨機(jī)變量，則稱(chēng){(X(t),Y(t)),t∈T}為二維隨機(jī)過(guò)程。</p><p>　　有限維分布函數(shù)和獨(dú)立性</p><p>　　{(X(t),Y(t)),t∈T}為二維隨機(jī)過(guò)程,對(duì)于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,…,tn；t1, t2,…,tm∈T ，稱(chēng)n+m元函數(shù).</p><p>　　F(x1,x2,…,xn；y1,

22、y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t1,t2,…,tm) =P{X(t1)x1,…, X(tn) xn；Y(t1) y1,…,Y(tm) ym}</p><p>　　為{(X(t),Y(t)),t∈T}的n+m維分布函數(shù)，類(lèi)似的可定義有限維分布函數(shù)族.</p><p><b>　　平穩(wěn)過(guò)程</b></p><p><b>

23、;　　概述</b></p><p>　　統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化的隨機(jī)過(guò)程。例如，一臺(tái)穩(wěn)定工作的紡紗機(jī)紡出的紗的直徑大小，受各種隨機(jī)因素影響，在某一標(biāo)準(zhǔn)值周?chē)▌?dòng)，在任意若干時(shí)刻處，直徑之間的統(tǒng)計(jì)依賴(lài)關(guān)系，僅與這些時(shí)刻之間的相對(duì)位置有關(guān)，而與其絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，因而直徑的變化過(guò)程可以看作一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。具有近似于這種性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程，在實(shí)際中是大量存在的。</p><p>　　在數(shù)

24、學(xué)中，平穩(wěn)過(guò)程（Stationary random process）或者嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程（Strictly-sense stationary,SSS）是在固定時(shí)間和位置的概率分布與所有時(shí)間和位置的概率分布相同的隨機(jī)過(guò)程。這樣，數(shù)學(xué)期望和方差這些參數(shù)也不隨時(shí)間和位置變化。</p><p>　　例如，白噪聲（AWGN）就是平穩(wěn)過(guò)程，鐃鈸的敲擊聲是非平穩(wěn)的。盡管鐃鈸的敲擊聲基本上是白噪聲，但是這個(gè)噪聲隨著時(shí)間變化：在敲擊前

25、是安靜的，在敲擊后聲音逐漸減弱。</p><p>　　在時(shí)間序列分析中穩(wěn)態(tài)作為一個(gè)工具使用，在這里原始數(shù)據(jù)經(jīng)常轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)態(tài)，例如經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)據(jù)經(jīng)常隨著季節(jié)或者價(jià)格水平變化。如果這些過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程與一個(gè)或者多個(gè)呈現(xiàn)一定趨勢(shì)的過(guò)程的線(xiàn)性組合，那么這些過(guò)程就可以表述為趨勢(shì)平穩(wěn)。將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換保留平穩(wěn)數(shù)據(jù)用于分析的過(guò)程稱(chēng)為解趨勢(shì)（de-trending）。</p><p>　　采樣空間也是離散的離

26、散時(shí)間平穩(wěn)過(guò)程稱(chēng)為Bernoulli scheme，離散采樣空間中每個(gè)隨機(jī)變量可能取得 N'個(gè)可能值中的任意一個(gè)。當(dāng) N = 2 的時(shí)候，這個(gè)過(guò)程叫做伯努利過(guò)程。</p><p><b>　　理論發(fā)展</b></p><p>　　平穩(wěn)過(guò)程的基本理論是在20世紀(jì)30～40年代建立和發(fā)展起來(lái)的，并已相當(dāng)完善。其后的研究主要是向某些特殊類(lèi)型以及多維平穩(wěn)過(guò)程、平穩(wěn)廣義

27、過(guò)程和齊次隨機(jī)場(chǎng)等方面發(fā)展。平穩(wěn)過(guò)程理論在無(wú)線(xiàn)電技術(shù)和自動(dòng)控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，并且是諸如時(shí)間序列分析、信號(hào)分析、濾波、預(yù)測(cè)理論以及控制理論等應(yīng)用學(xué)科的重要工具。</p><p><b>　　寬平穩(wěn)過(guò)程的譜分解</b></p><p>　　將傅里葉分析方法應(yīng)用于寬平穩(wěn)過(guò)程，可以把過(guò)程表成有不相關(guān)隨機(jī)振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，這就產(chǎn)生了過(guò)程按頻率的譜分解，它是寬平穩(wěn)過(guò)程

28、理論的一個(gè)基本結(jié)果。</p><p>　　寬平穩(wěn)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)是非負(fù)定的，即對(duì)任意t1,t2,…tn∈T,任意復(fù)數(shù)z1,z2,…zn,都有。根據(jù)這一性質(zhì),對(duì)于離散指標(biāo)，Г(t)和過(guò)程本身分別有如下的譜分解式。</p><p>　　對(duì)于連續(xù)指標(biāo)，如果還假設(shè)過(guò)程為均方連續(xù)的，即對(duì)任意（它的一個(gè)等價(jià)條件是Г(t)為連續(xù)函數(shù)），則有譜分解式。上面的F(λ)是區(qū)間【-，】或(-∞,∞)上的有界非降

29、函數(shù),并可取為右連續(xù)的，稱(chēng)為過(guò)程X的譜分布函數(shù)。</p><p>　　對(duì)η的積分是隨機(jī)積分中一種常見(jiàn)的對(duì)正交增量過(guò)程的積分。如果 F(λ)絕對(duì)連續(xù)，則稱(chēng)它的導(dǎo)函數(shù)?(λ)＝F┡(λ)為過(guò)程X的譜密度(或功率譜密度)。最重要的特例是有理譜密度，具有有理譜密度的平穩(wěn)過(guò)程可以看成白噪聲（即具有常值譜密度的平穩(wěn)過(guò)程）輸入一個(gè)有限階非時(shí)變線(xiàn)性系統(tǒng)所得的輸出。這一特性使得它們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中占有重要的地位。</p>

30、<p>　　從平穩(wěn)過(guò)程的譜分解可以推出一些重要的結(jié)論。例如均方大數(shù)律。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]林元烈.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程[M],北京：清華大學(xué)出版社，2002</p><p>　　[2]朱春浩.簡(jiǎn)明概率論學(xué)術(shù)史綱要[D],湖北武漢：武漢船舶職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，2010</p>