畢業(yè)論文----凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

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文檔簡介

1、　　本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）　　題目（中文）：凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用　?。ㄓ⑽模篘ature and Application of Convex Function　　姓名 　　學(xué)

2、號 　　院系數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系 　　專業(yè)年級信息與計(jì)算科學(xué)2005級 　　指導(dǎo)教師 </p

3、>　　2009年 4 月20日　　凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用　　摘要　　凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用，本文給出了凸函數(shù)的三種等價(jià)定義，并討論了凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及它在不等式方面的相關(guān)應(yīng)用。

4、;　　[關(guān)鍵詞] 凸函數(shù) 等價(jià)定義性質(zhì) 應(yīng)用最優(yōu)化　　Nature and Application of Convex Function 　　Abstract　　Convex function is an important function and it h

5、as a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequali

6、ty 　　[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature application Optimization　　目錄　　緒論 …………………………………………………（1）

7、 　　凸函數(shù)的概念與等價(jià)定義 ………………………… （1） 　　凸函數(shù)的概念 ………………………………… （1） 　　凸函數(shù)的等價(jià)定義………………

8、……………… （2） 　　凸函數(shù)的簡單性質(zhì) ……………………………………（3） 　　凸函數(shù)的判定定理 ……………………………………（5） 　　關(guān)于凸函數(shù)的幾

9、個(gè)重要不等式…………………………（7） 　　Jensen不等式………………………………………（7） 　　Hadamard不等式……………………………………（10） 　　5

10、凸函數(shù)的應(yīng)用 …………………………………………（11） 　　5.1 凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用……………………（11） 　　5.2.一般凸函數(shù)和凸集…………………………………（13） <

11、p>　　5.3 廣義凸函數(shù)求極小的問題…………………………（14） 　　5.4廣義凸函數(shù)求極大的問題…………………………（16） 　　結(jié)束語 ………………………………………………………（19） &

12、lt;/p>　　致謝 …………………………………………………………（19） 　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………（20） 　　緒論 &l

13、t;/b>　　凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃，控制論等領(lǐng)域,函數(shù)凸性是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念,它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖象以及證明不等式諸方面都有廣泛的應(yīng)用.凸分析作為數(shù)學(xué)的一個(gè)比較年輕的分支，是在50年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃，最優(yōu)控制理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的興起而發(fā)展起來的。運(yùn)籌學(xué)是在二十世紀(jì)四十年代才開始興起的一門分支。運(yùn)籌學(xué)的創(chuàng)始人定義運(yùn)籌學(xué)是：“管理系統(tǒng)

14、的人為了獲得關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學(xué)方法?！彼褂迷S多數(shù)學(xué)工具（包括概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)理分析、線性代數(shù)等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中人、財(cái)、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以期發(fā)揮最大效益。隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)已滲入很多領(lǐng)域里，發(fā)揮了越來越重要的作用。　　本世紀(jì)初建立了凸函數(shù)理論以來,凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支中得到了廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中,也都對函數(shù)的凸性作

15、了介紹,由于各版本根據(jù)自己的需要,對凸函數(shù)這一概念作了不同形式的定義,本文就以凸函數(shù)幾種定義的等價(jià)性給以證明,并給出簡單的應(yīng)用，應(yīng)用凸函數(shù)的概念與性質(zhì)來證明幾個(gè)重要且常用的不等式和凸函數(shù)在證明一般不等式中的應(yīng)用；研究凸函數(shù)在最優(yōu)化中的應(yīng)用，研究比凸函數(shù)更一般的各類凸函數(shù)，給出它們的定義及以及其之間的關(guān)系；以及廣義凸函數(shù)求極小的問題（即廣義凸規(guī)劃）和廣義凸函數(shù)求最大的問題。　　1 凸函數(shù)的概念與

16、等價(jià)定義　　凸函數(shù)的概念　　人們常用凸與凹來反映曲線的彎曲方向。這種從幾何直觀給出的關(guān)于曲線凸（凹）的概念反映在數(shù)學(xué)上就是表達(dá)該曲線的凸（凹）性概念。　　定義1 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點(diǎn),,常有

17、則稱為上的凸函數(shù)。　　定義2 若在定義上成立不等式（≠）　　<　　則稱是上嚴(yán)格的凸函數(shù)。　　例1 .1.1 指數(shù)函數(shù)(>0,≠1)是（-∞，+∞）上的嚴(yán)格凸函數(shù)。<p

18、>　　不難驗(yàn)證，恒正的函數(shù)(>0,≠1)滿足關(guān)系式　　由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng) 時(shí)，必有，再由不相等正數(shù)的幾何平均值小于它們的算術(shù)平均值，則有　　<　　綜上所述可得：<

19、;b>　　<　　因此，(>0,≠1)是（-∞，∞）上的嚴(yán)格凸函數(shù)。　　1.2 凸函數(shù)的等價(jià)定義 　　定義 1 設(shè)在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意 ,∈,任意∈(0,1)有　　若不等號反向，則稱為上的凹函數(shù)。<

20、/p>　　若“≤”改為“<”，則稱為上的嚴(yán)格凸函數(shù)。　　定義2 設(shè)在區(qū)間上有定義,在上成為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意,∈,有　　定義3 設(shè)在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數(shù)當(dāng)僅當(dāng)對任意,…,∈,有　　推論：若在區(qū)間上成為凸函數(shù)，則對任意<<,有&

21、lt;p>　　注：若在上連續(xù)，則上述定義1,2,3等價(jià)。 　　2 凸函數(shù)的簡單性質(zhì)　　在本節(jié)中，來敘述關(guān)于凸函數(shù)的一些常用的簡單的性質(zhì)。　　定理2.1 設(shè)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意，則:　　時(shí)，在區(qū)間上為凸函數(shù)　　時(shí)

22、，在區(qū)間上為凹函數(shù)　　定理2.2 設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則其和也是I上的凸函數(shù)。　　由定理2.1和定理2.2可知下面的推論　　推論：設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則線性組合的函數(shù)為I上的凸函數(shù)　　為I上的凹函數(shù)<

23、p>　　定理2.3 若設(shè)，是間I上的凸函數(shù)，則為I上的凸函數(shù)　　定理2.4 設(shè)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，u = f (x)是凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù)　　定理2.5 設(shè)為區(qū)間I上的凹函數(shù)，，則為區(qū)間I上的凸函數(shù)，反之不真。　　證明：要證為區(qū)間I上的凸函數(shù)，即證任意有

24、因?yàn)?，為凹函?shù)。故有　　所以：　　只需證明：　　由于，故　　成立，結(jié)論得證。

25、　另：設(shè)為R上的凸函數(shù)，但仍為凸函數(shù)。　　定理2.6 若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對任意，則為I的內(nèi)點(diǎn)。則單側(cè)導(dǎo)數(shù)皆存在，且。　　推論：若為I上的凸函數(shù)，則在I上的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)。　　定理2.7 為區(qū)間上的凸函數(shù)，對任意對任意有　　證明：（必要性）已知為區(qū)間上的凸函數(shù)，則由定理2.

26、5可知對任，存在，　　且單調(diào)于。　　故對當(dāng)時(shí)有　　同理，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)有　　因?yàn)?

27、　　故對，對，總有　　（充分性）對，由題設(shè)，對，存在使得　　在上式中分別令得　　證畢。　　3 凸函數(shù)的判定定理

28、利用凸函數(shù)的定義判別函數(shù)是否為凸函數(shù)，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于應(yīng)用的判別法。　　定理3.1 若函數(shù)是區(qū)間上的遞增可積函數(shù)，則變動上限積分所定義的函數(shù)　　是上的一個(gè)凸函數(shù)。　　證明：設(shè)，則<p&g

29、t;　　由于是遞增的，故　　從而得　　這樣，由定義1可知，是凸函數(shù)。　　定理3.2若在間上存在，則在上成為凸函數(shù)的充分必要條件是：　　在上

30、　　證明：（1）必要性，已知為凸函數(shù)，令，并設(shè)　　因而，這樣就有　　即　　用反證法，假定，由可知，存在，使得　　另外，從</p&g

31、t;　　知　　是的減函數(shù)。但這函數(shù)當(dāng)時(shí)等于。　　因此，　　這與結(jié)論矛盾，因而　　充分性，兩次應(yīng)用中值定理有<

32、;p>　　，　　及，　　從而　　再由得　　在上式中，令及得

33、;　　兩式相加得　　故是凸函數(shù)。 　　證畢　　例3.1 函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)，因?yàn)椤?lt;/p>　　定理3.3 若在區(qū)間上存在，，則在區(qū)間是嚴(yán)格凸函數(shù)

34、。　　4 關(guān)于凸函數(shù)的幾個(gè)重要不等式　　4.1 不等式　　定理4.1.1（凸函數(shù)的基本不等式）設(shè)是間上的凸函數(shù)，則對中任意個(gè)數(shù)成立不等式　　當(dāng)僅當(dāng)時(shí)等號。

35、;　　定理4.1.2（總和不等式）若是上的連續(xù)凸函數(shù)，是一組不為零的非負(fù)數(shù)，則成立不等式：　　當(dāng)僅當(dāng)都相等時(shí)等式成立。　　證明：（1）特別地，設(shè)都是非負(fù)有理數(shù)，　　為自然數(shù)；為非負(fù)數(shù)，這樣　　分子，分母同乘以，上面分式就成了凸函數(shù)的基本不等式的樣子，此時(shí)

36、;　　因而得證。　　一般地，設(shè)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，記　　則可具有公分母的有理數(shù)列，使）　　這樣由（1）有　　考慮到具有連續(xù)性，因而對上面不等式的兩邊極限，立得

37、　　證畢　　定理4.1.3（積分不等式）若是上的連續(xù)凸函數(shù)，而與是上的連續(xù)函數(shù)，，則成立　　證明：令　　由總和不等式有

38、　從而　　當(dāng)令時(shí)，即得　　證畢　　例4.1.1 若為上的正連續(xù)函數(shù)，則　　證明：考慮到函數(shù)是凹函數(shù)，為上的正連續(xù)函數(shù)，當(dāng)設(shè)，根據(jù)積分不等式立得<p

39、>　　整理可得　　例4.1.2 若，則　　證明：設(shè)，因故是凸函數(shù)。由總和不等式有　　兩邊同乘以立得　　證畢。&

40、lt;b>　　4.2不等式　　定理4.2.1（不等式）設(shè)是上的連續(xù)凸函數(shù)，則　　證明：由于是上的連續(xù)凸函數(shù)，由凸函數(shù)的基本定理可知　　兩邊積分可得　　因而</p&g

41、t;　　..................................（A）　　又　　若令，得　　所以　　又是上的連續(xù)凸函數(shù)，即&

42、lt;/p>　　故　　即　　........................................................（B）　　由A，B兩式可得<

43、;/p>　　證畢　　5 凸函數(shù)的應(yīng)用　　5.1 凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用　　在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)來證明可以非常簡潔、巧妙。證明不等式是凸函數(shù)的一個(gè)重

44、要應(yīng)用領(lǐng)域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決問題的凸函數(shù)。　　例5.1.1 證明不等式　　證明：設(shè)，因，所以是嚴(yán)格凸函數(shù)。　　由凸函數(shù)的定義可知　?。ǎ?lt;/b>　　這就是要證

45、的不等式。　　例5.1.2若則　　證明：設(shè)，因　　故是上的凹函數(shù)，因而　　，這便是要證的不等式。　　證明不等式：&l

46、t;/p>　　均為正數(shù)，　　證明：令，則，為凹函數(shù)，從而由的單調(diào)增加性：　　即 　　例5.1.4對任何正數(shù)，當(dāng)時(shí)有　　證明：注意不等式系數(shù)之和，及系數(shù)均為正數(shù)，可考慮用

47、凸凹性來證明。　　設(shè)，則為凹函數(shù)，故　　，或　　由的單調(diào)增加性知：　　即，&l

48、t;b>　　證畢　　例5.1.5設(shè)證明：　　證明：設(shè)，對　　故為上嚴(yán)格凸函數(shù)，因而　　證畢　　5.2 一般凸函數(shù)和凸集<

49、/p>　　定義5.2.1集合，若，以及任意的數(shù)，均有　　則稱為凸集。特別地，若為凸集，也為閉集，則稱為閉凸集。　　定理1集合為凸集的充分必要條件是，及任意數(shù)有　　設(shè)函數(shù)定義在凸集上，其中，　　定義5.2.2若存在常數(shù)，使得，有

50、;　　則稱為一致凸函數(shù)。　　定義5.2.3若，及，有　　則稱為嚴(yán)格凸函數(shù)。　　定義5.2.4設(shè)為可微的凸函數(shù)，若，滿足　　則稱為偽凸函數(shù)，其中<

51、p>　　定義5.2.5若，，有　　則稱為嚴(yán)格擬凸函數(shù)。　　若把上式中的“”改為“”，則稱為擬凸函數(shù)　　定義5.2.6若，及，有　　則稱為強(qiáng)擬凸函數(shù)。　　5.3 廣義凸函數(shù)求極小的問題&

52、lt;/p>　　考慮　　其中為閉凸集，而為廣義凸函數(shù)，則稱上述問題為廣義凸規(guī)劃問題。　　定理5.3.1設(shè)為凸集，為嚴(yán)格擬凸函數(shù)，則規(guī)劃問題　　的任意局部最優(yōu)解都為整體最優(yōu)解。　　證明：設(shè)為的局部最優(yōu)解，即存

53、在，使得為下面問題的最優(yōu)解：　　若存在有　　由于為嚴(yán)格擬凸函數(shù)，故，有　　當(dāng)，足夠接近時(shí)，有　　此與為局部最優(yōu)解相矛盾. <p

54、>　　證畢　　定理5.3.2設(shè)為凸集，為強(qiáng)擬凸函數(shù)，若如下規(guī)劃問題存在最優(yōu)解：　　則的最優(yōu)解必唯一。　　證明：若和都為的最優(yōu)解，由于為強(qiáng)擬凸函數(shù)，故都有　　此與和都為的最優(yōu)解矛盾，證畢。&l

55、t;/p>　　定理5.3.3設(shè)為凸集，為擬凸函數(shù)，則問題　　的最優(yōu)解集合為凸集。　　證明：若與為的最優(yōu)解，有　　故上式必等號，即　　由為凸集，故

56、　　因此也為的最優(yōu)解。　　證畢　　5.4 廣義凸函數(shù)求極大的問題　　考慮　　中為閉凸集，而為廣義凸函數(shù)。　　定理5.4.1設(shè)為閉凸集

57、，為連續(xù)的嚴(yán)格擬凸函數(shù)，則規(guī)劃問題　　的最優(yōu)解一定在的邊界上達(dá)到，除非在上為常數(shù)。　　證明：設(shè)在上不為常數(shù)，存在最優(yōu)解，即存在　　使得　　現(xiàn)任意則存在，及使得　　若由為嚴(yán)格擬凸函數(shù)，故<

58、/p>　　矛盾。　　若由為連續(xù)的嚴(yán)格擬凸函數(shù)，故有　　由為的最優(yōu)解，故必有　　因此在上為常數(shù)，此與假設(shè)矛盾。　　證畢　　定理5

59、.4.2設(shè)為連續(xù)的嚴(yán)格擬凸函數(shù)，并約束集合　　若規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則的最優(yōu)解可以在的頂點(diǎn)達(dá)到。　　證明：令為的最優(yōu)解，設(shè)　　為線性相關(guān)的，于是，存在　　使得　　記<

60、/b>　　則　　考慮　　其中設(shè)存在有，令　　存在有，令；令　　可知它們的

61、非零向量比至少少1個(gè)；有　　若，由為連續(xù)的嚴(yán)格擬凸函數(shù)有　　此與為的最優(yōu)解矛盾，故必有　　由為連續(xù)的嚴(yán)格擬凸函數(shù)有　　而為的最優(yōu)解，故有　　若都有令<

62、;/p>　　則　　類似于（1）可證　　重復(fù)上述過程，最多可通過步找到最優(yōu)解或或。而對應(yīng)的非零分量是線性無關(guān)的，可知為凸多面體的極點(diǎn)。 　　證畢

63、;　　結(jié)束語　　本文對凸函數(shù)這一概念作了不同形式的定義,以凸函數(shù)幾種定義的等價(jià)性給以證明,并給出凸函數(shù)的幾個(gè)簡單性質(zhì)，探討了幾種凸函數(shù)的判定方法，并給出有關(guān)凸函數(shù)的簡單應(yīng)用：應(yīng)用凸函數(shù)的概念與性質(zhì)來證明幾個(gè)重要且常用的不等式及凸函數(shù)在證明一般不等式中的應(yīng)用,特別是在不等式的證明中，運(yùn)用它解題顯得巧妙、簡練.利用凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及判定定

64、理證明不等式，關(guān)鍵是尋找合適的凸函數(shù)，若不能直接找出，則可以對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而達(dá)到證明不等式的目的；此外，本文還研究了比凸函數(shù)更為一般的各類凸函數(shù)，給出它們的定義及其之間的關(guān)系和廣義凸函數(shù)在最優(yōu)化中的應(yīng)用：廣義凸函數(shù)求極小的　?。磸V義凸規(guī)劃，記為convex-min）和廣義凸函數(shù)求最大的問題(convex-max)的性質(zhì)。

65、　致謝　　本文從命題到完成都得到了指導(dǎo)老師xx老師和幫助我完成本文的同學(xué)們的大力幫助.在此，感謝xx老師的悉心指導(dǎo)和同學(xué)們的幫助.　　參考文獻(xiàn)　　[1] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題和方法[M].北京：高等教育出版社1993.5.

66、　　[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社2001.6.　　[3] Rockafellar R T. Convex Analysis[M].Pinceton University Press,1970.　　[4] Yang K,Murty K G..New iterative methods for

67、 linear inequalities[J].Joumal of Optimization Theory and Applications,1992,72(1);163~185.　　[5] 時(shí)貞軍，岳麗. 凸函數(shù)的若干新性質(zhì)及應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，y2004，17（增）：01~04.　　[6] 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（中冊），人民教育出版社，1978

68、.　　[7] 史樹中，凸分析.上海：上?？萍汲霭嫔?，1990.　　[8] Ponstein J..Seven kinds of convexity. SIAM Review,1967(9),115~119.　　[9] 袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法.北京：科學(xué)出版社，1999.<p

69、>　　[10] Rokafellar R.T.. Convex Analysis. Princeton,University of Princeton Press, New Jersey,1970.　　[11] 魏權(quán)齡，王日爽，余兵.數(shù)學(xué)規(guī)劃引論.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1991.　　[12] Seiford L.M..Data envelo

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