幾何凸函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用-faumath

1、<p>　　幾何凸函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用</p><p><b>　　張小明</b></p><p>　?。ㄕ憬庪姶?314400）</p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　控制不等式作為一門新興的學(xué)科是近幾年的事，歸功于A.W.Marshall和I.Ol

2、kin在1979年，出版了著名的書“Inequalities:Theory of Majorization and Its Applications”，詳情也可參考書[1]．而后世界各地的學(xué)者在控制不等式上的研究非?；钴S，國(guó)內(nèi)外的研究成果部分可參考[2]．但到目前為止，控制不等式主要建立在凸函數(shù)和Schur-凸函數(shù)上，而凸函數(shù)概念本身有許多推廣（可見(jiàn)[3]和[16]），對(duì)于建立在其余凸函數(shù)的控制不等式，則很少見(jiàn)到．本文的目的是把凸函數(shù)的

3、控制不等式的理論和方法，平行地推廣到一種名為幾何凸函數(shù)上去，同樣能用一種統(tǒng)一的方法方便地推導(dǎo)一些已知的不等式，同時(shí)也能得到一些新的不等式，所以它的應(yīng)用范圍是廣泛的．凸函數(shù)與幾何凸函數(shù)在定義上是平行的，在應(yīng)用上各有千秋，一個(gè)不等式有時(shí)用凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明比較簡(jiǎn)單一些，有時(shí)則反之；同樣構(gòu)造發(fā)明一個(gè)不等式時(shí),用凸函數(shù)的性質(zhì)有時(shí)要強(qiáng)，有時(shí)則用幾何凸函數(shù)的性質(zhì)得到的結(jié)果要強(qiáng)；當(dāng)一個(gè)函數(shù)既是凸函數(shù)又是幾何凹函數(shù)時(shí)，則同時(shí)能得到它的上下界，豈不美哉？

4、從某種角度上看，凸函數(shù)的控制理論和方法</p><p>　　關(guān)于幾何凸函數(shù)，最先的定義是在[4]中出現(xiàn)的，文[4]中定義一類了幾何下凸函數(shù)，并提出了有關(guān)其等價(jià)性定義的幾個(gè)猜想，文[5]-[8]分別解決這幾個(gè)猜想，且[7]還討論幾何凸函數(shù)的定義域和值域，文[8]開(kāi)始把原定義改名為幾何凸函數(shù)．在文[9]中，提出了對(duì)數(shù)控制這個(gè)概念，得到了國(guó)內(nèi)第一個(gè)幾何凸函數(shù)的控制不等式，由于與控制相聯(lián)系了，幾何凸函數(shù)的研究踏上了新的里

5、程．文[10]給出國(guó)內(nèi)第一個(gè)一維幾何凸函數(shù)的微分判據(jù)．同時(shí)[11]也開(kāi)始了幾何凸函數(shù)的研究，其也是國(guó)外第一個(gè)定義幾何凸函數(shù)的，把幾何凸函數(shù)定義為GG-凸函數(shù)或積凸函數(shù)（這與楊定華在[5][6]中的名稱是一樣的），也得到了幾個(gè)定義的等價(jià)性，一維幾何凸函數(shù)的微分判據(jù)，引入對(duì)數(shù)控制概念，與控制相聯(lián)系進(jìn)行研究．[13]利用幾何凸函數(shù)的性質(zhì)，得到了一個(gè)有關(guān)排序的不等式，[14]定義了N維幾何凸函數(shù)，得到了Holder不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單證明，[15]

6、指出了[9][11]中的一個(gè)定理與Karamata控制不等式是等價(jià)的．在這幾篇文中涉及到應(yīng)用的方面，[9][11][14]作得比較好，特別是[14]，因例子比較豐富，更使讀者相信幾何函數(shù)是一個(gè)重要的一個(gè)概</p><p>　　本文的目的是全方位反映到目前為止幾何凸函數(shù)的研究成果，同時(shí)也溶進(jìn)筆者研究的一些結(jié)果，為了讓讀者更輕松閱讀，賦與一些有一定價(jià)值的實(shí)例．由于本人對(duì)兩個(gè)向量相互控制使用技巧不成熟，所以完全相信有許

7、多優(yōu)越的不等式還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)，希有識(shí)之士能探索和研究這個(gè)新領(lǐng)域．</p><p>　　本文的部分內(nèi)容已在中國(guó)不等式研究小組的網(wǎng)站（http://zgbdsyjxz.nease.net）上公布過(guò)，以后先后得到了中國(guó)不等式研究小組成員楊路教授、石煥南教授、蕭振綱付教授、張晗方付教授、趙長(zhǎng)健付教授、楊定華老師、楊志明老師、李康海老師和吳裕東老師的幫助；特別是石煥南教授數(shù)十次郵寄資料給筆者，滿足筆者的各種要求，這是一般人難

8、于做到的，在此表示真誠(chéng)的謝意．浙江電大海寧分校的領(lǐng)導(dǎo)對(duì)筆者的學(xué)術(shù)研究，一貫給予精神上和物質(zhì)上的支持，在此也表示感謝.為了趕時(shí)間評(píng)職稱，此文從構(gòu)思到成文是倉(cāng)促中進(jìn)行的，之中一定有許多不盡人意的地方，煩請(qǐng)讀者一一指點(diǎn)給本人(zjzxm79@sohu.com).</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]王伯英．控制不等式基礎(chǔ)[M]．北京：北京

9、師范大學(xué)出版社，1990．</p><p>　　[2]石煥南．控制不等式參考文獻(xiàn)．不等式研究通訊（中國(guó)不等式研究小組主辦），2003（1）：23-27．</p><p>　　[3]匡繼昌．常用不等式（第二版）[M]．長(zhǎng)沙：湖南科技出版社，1993（5）．</p><p>　　[4]張承宇． 廣義凸函數(shù)性質(zhì)初探． 中學(xué)數(shù)學(xué)[J] 1998(4)． </p>

10、<p>　　[5]楊定華．關(guān)于積凸（凹）函數(shù)的幾個(gè)不等式．研究通訊，1998（4）．</p><p>　　[6]楊定華．關(guān)于積凸函數(shù)幾個(gè)不等式的加強(qiáng)．研究通訊，1999（2）．</p><p>　　[7]李世杰． 廣義凸函數(shù)定義和性質(zhì)之我見(jiàn)． 中學(xué)數(shù)學(xué) ,1999(5) ．</p><p>　　[8]單寶良．關(guān)于幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)和平方凸函數(shù)．中學(xué)

11、教研，1999（8）</p><p>　　[9]楊定華．有關(guān)積凸函數(shù)的一個(gè)不等式（不等式研究[M]）（楊學(xué)枝主編）,西藏：西藏人民出版社，2000，71-74．</p><p>　　[10]于小平． 談廣義凸函數(shù)． 第四屆初數(shù)會(huì)． 2000(8) </p><p>　　[11]CONSTANTIN P.NICULESCU.CONVEXITY TO THE GEOME

12、TRIC MEAN.</p><p>　　Mathematical Inequalities & Applications .2000(2):155-167.[12]沈文選 ．廣義凸函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) ．中學(xué)數(shù)學(xué) ．2000(12) ．[13]趙小云 ,李世杰． 幾何凸函數(shù)的若干性質(zhì)． 數(shù)學(xué)通訊, 2003(5)</p><p>　　[14]楊定華．關(guān)于幾何凸函數(shù)的不等式[J]．河