序列的收斂性與子序列的收斂性

1、1序列的收斂性與子序列的收斂性摘要摘要:本文研究序列的收斂性與子序列的收斂性之間的關(guān)系情況，分析和推導(dǎo)BolzanoWelerstrass定理和一些結(jié)論，得出序列和子序列的收斂的幾種判定方法并應(yīng)用于控制收斂定理的一個(gè)重要推廣，這對(duì)于我們進(jìn)一步了解序列與子序列之間的關(guān)系有著一定的意義。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:序列；子序列；收斂；極限1引言引言在數(shù)學(xué)分析里，對(duì)于序列的研究主要是極限問題，但沒有較系統(tǒng)地討論序列的收斂性與子序列的收斂性的關(guān)系本文主要分析

2、序列與子序列之間的關(guān)系，從中得出一些定理和結(jié)論，這對(duì)于我們對(duì)序列收斂性判定和研究序列與子序列間的關(guān)系具有很大的幫助。2序列和子序列的定義及其相互關(guān)系序列和子序列的定義及其相互關(guān)系2.12.1序列和子序列的定義序列和子序列的定義定義：定義：若函數(shù)的定義域?yàn)檎麄€(gè)全體正整數(shù)集合，則稱fN?或:fNR????fnn?N?為序列。因?yàn)檎麛?shù)集合的元素可按照由大到小的順序排列，故序列也可N?)(nf以寫為1234naaaaa??或者簡(jiǎn)單地記為，其中

3、稱為該序列的通項(xiàng)。序列可分為有界序列，無(wú)界??nana序列，單調(diào)序列，常序列或周期序列等。從序列中將其項(xiàng)抽出無(wú)窮多項(xiàng)來，??na按照它們?cè)谠瓉硇蛄兄械捻樞蚺懦梢涣校?，，，，又得一個(gè)1na2na?kna?新的序列，稱為原來序列的子序列。??kna易見中的第k項(xiàng)是中的第項(xiàng)，所以總有，事實(shí)上本??kna??naknknk???na身也是的一個(gè)子序列，且是一個(gè)最大的子序列（=時(shí)）。??naknk3（ii）1knack??于是，由（i）和（ii）

4、知，是的收斂子序列knana（2）另外對(duì)于無(wú)界序列，則可以利用序列無(wú)界定義，類似（1）后面一部??na分可以證明出存在子序列.??kna??例1：對(duì)于有界序列，它存在子序列收斂于1，當(dāng).????1k?????21k?k??例2：對(duì)于無(wú)界序列，它的一切子序列都發(fā)散到.??n??以上是關(guān)于序列與其子序列在序列有界和無(wú)界的情況下進(jìn)行的關(guān)系探討，進(jìn)一步對(duì)于單調(diào)有界序列分析，我們有如下定理：定理定理2：若為單調(diào)有界序列，為的一個(gè)子序列，且有，??

5、na??kna??naknaa?則有??k??naa???n??證明：由于是單調(diào)有界序列，可根據(jù)序列單調(diào)有界定理(見注釋②)知??na道，收斂，而存在，現(xiàn)假設(shè)記為，即，由定義，對(duì)??nalimnna??blimnnab???，，使當(dāng)時(shí)候，有0????1N1nN?2nab???由于是的子序列，且，故對(duì)上述，??kna??naknaa???k??0???2N?，使當(dāng)時(shí)，就有0kn?k?2N2knaa???又取，當(dāng)時(shí)，就有，于是有：??12m