數(shù)學(xué)論文：用不動點法求數(shù)列的通項.doc

1、<p>　　用不動點法求數(shù)列的通項</p><p>　?。ㄒ寻l(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2007年第七期）</p><p>　　江西省泰和中學(xué) 胡良星 330027</p><p>　　定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點.</p><p>　　利用遞推數(shù)列的不動點，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種方

2、法稱為不動點法.</p><p>　　定理1：若是的不動點，滿足遞推關(guān)系，則，即是公比為的等比數(shù)列.</p><p>　　證明：因為 是的不動點</p><p><b>　　由得</b></p><p>　　所以是公比為的等比數(shù)列.</p><p>　　定理2：設(shè)，滿足遞推關(guān)系，初值條件</

3、p><p>　?。?）：若有兩個相異的不動點，則 （這里）</p><p>　?。?）：若只有唯一不動點，則 （這里）</p><p><b>　　證明：由得，所以</b></p><p>　?。?）因為是不動點，所以，所以</p><p><b>　　令，則</b>&l

4、t;/p><p>　?。?）因為是方程的唯一解，所以</p><p><b>　　所以，所以</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　令，則 </b></p><p>　　例1：設(shè)滿足，求數(shù)列的通項公式</p

5、><p>　　解：作函數(shù)，解方程求出不動點，于是</p><p><b>　　，逐次迭代得</b></p><p><b>　　由此解得</b></p><p>　　例2：數(shù)列滿足下列關(guān)系：，求數(shù)列的通項公式</p><p>　　解：作函數(shù)，解方程求出不動點，于是</p&g

6、t;<p>　　所以是以為首項，公差為的等差數(shù)列</p><p><b>　　所以，所以</b></p><p>　　定理3：設(shè)函數(shù)有兩個不同的不動點,且由確定著數(shù)列,那么當(dāng)且僅當(dāng)時,</p><p>　　證明: 是的兩個不動點</p><p><b>　　即</b></p>

7、;<p><b>　　于是,</b></p><p><b>　　方程組有唯一解</b></p><p>　　例3：已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項.</p><p>　　解:作函數(shù)為,解方程得的兩個不動點為</p><p><b>　　再經(jīng)過反復(fù)迭代,得</b><

8、;/p><p><b>　　由此解得</b></p><p>　　其實不動點法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項的幾種情形,還可以解決如下問題:</p><p>　　例4：已知且,求數(shù)列的通項.</p><p>　　解: 作函數(shù)為,解方程得的不動點為</p><p><b>　　.取,作如下代換

9、:</b></p><p><b>　　逐次迭代后,得:</b></p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]、陳傳理 張同君 競賽數(shù)學(xué)教程[M] 高等教育出版社</p><p>　　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m</p>&l