淺析調(diào)和方程的數(shù)值解法【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　信息與計(jì)算科學(xué)</b></p><p>　　淺析調(diào)和方程的數(shù)值解法</p><p>　　摘要: 調(diào)和方程, 又稱Laplace方程, 是一類典型的橢圓型方程, 也是最簡(jiǎn)單的橢圓型方程.需要掌握: 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì), 包括各類極值原理, 以

2、及這些性質(zhì)是如何與定解問(wèn)題解的適定性相聯(lián)系的. 在一些特殊區(qū)域中對(duì)某些定解問(wèn)題的求解, 包括解的顯示表達(dá)式的導(dǎo)出. 而且其相應(yīng)定理的證明思路也與調(diào)和方程的情形相仿. 在一個(gè)物理問(wèn)題中一個(gè)數(shù)值解往往比一個(gè)式子更直觀, 更有價(jià)值.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 調(diào)和方程; 橢圓; 數(shù)值解.</p><p>　　在一個(gè)物理問(wèn)題中一個(gè)數(shù)值解往往比一個(gè)式子更直觀, 更有價(jià)值. 在實(shí)際求解方程時(shí),除了

3、一些特殊的情況下可以方便地求得其精確解外, 在一般情況下, 當(dāng)方程或定解條件具有比較復(fù)雜的形式,或求解區(qū)域具有比較復(fù)雜的形狀時(shí), 往往求不到, 或不易求到其精確解. 這就需要我們?nèi)ふ曳匠痰慕平?特別是數(shù)值近似解, 簡(jiǎn)稱數(shù)值解.這里主要研究的是調(diào)和方程. </p><p>　　調(diào)和方程, 又稱Laplace方程, 是一類典型的橢圓型方程, 也是最簡(jiǎn)單的橢圓型方程. 在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí), 除了弄清楚該方程及相應(yīng)

4、定解問(wèn)題的提法與其物理背景以外, 還需要掌握的內(nèi)容有: (1) 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì), 包括各類極值原理, 以及這些性質(zhì)是如何與定解問(wèn)題解的適定性相聯(lián)系的. (2) 在一些特殊區(qū)域中對(duì)某些定解問(wèn)題的求解, 包括解的顯示表達(dá)式的導(dǎo)出. 這里需要強(qiáng)調(diào)的是,調(diào)和方程的許多性質(zhì)都能推廣到一般的情形. 也就是說(shuō),一般二階線性橢圓型方程的解也常有類似的性質(zhì)與極值原理, 而且其相應(yīng)定理的證明思路也與調(diào)和方程的情形相仿. 從這個(gè)角度來(lái)說(shuō),我們對(duì)調(diào)和方程的

5、研究蘊(yùn)含著更豐富的內(nèi)容. </p><p>　　求偏微分方程數(shù)值解的方法是多種多樣的,它本身已形成了一個(gè)獨(dú)立的研究方向, 其要點(diǎn)是對(duì)偏微分方程定解問(wèn)題進(jìn)行離散化. 這里將以二維調(diào)和方程的狄利克雷問(wèn)題和一維熱傳導(dǎo)方程與一維波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題為例, 說(shuō)明將這些連續(xù)型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的離散型問(wèn)題的主要處理方法. </p><p>　　下面我們討論二維調(diào)和狄利克雷問(wèn)題的數(shù)值解: </p&g

6、t;<p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　其中方程 (1.1) 在平面的一個(gè)有界區(qū)域中滿足, 為的邊界, 設(shè)其為分段光滑, 而為在上給定的連續(xù)函數(shù). </p><p>　　有限差分法 要求得狄利克雷問(wèn)題 (1.1) 的數(shù)值近似解, 首先要將相應(yīng)的微分方程離散化, 這就導(dǎo)致有限差分法. </p><p>　　元

7、體平衡法 由格林公式, 若, 對(duì)內(nèi)任一分段光滑的閉環(huán)路成立 (1.2) 其中是L所包圍的區(qū)域, n是L上的單位外法向量. 于是, 若 (1.3) 而在的邊界上 (1.4)以穩(wěn)定溫度場(chǎng)為例, (1.3) 式表示在L上總熱流量為零的平衡條件. 現(xiàn)在從 (1.3) — (1.4) 出發(fā)求其相應(yīng)的數(shù)值解, 稱為元體平衡法. </p><p>　　有限元素法(里茨法) 令 (1.5), 及, 若為調(diào)和方程狄利克雷問(wèn)題 (1

8、.1) 的經(jīng)典解, 且使 (1.6), 在上述變分問(wèn)題中, 將求泛函數(shù)極值的函數(shù)集合適當(dāng)擴(kuò)大為: </p><p>　　. (1.7)</p><p>　　若函數(shù), 且滿足 (1.8), 則稱為狄利克雷問(wèn)題 (1.1) 的廣義解. 對(duì)變分問(wèn)題 (1.8) 進(jìn)行離散化, 就導(dǎo)致另一種數(shù)值求解方法, 稱為有限元素法. </p><p>　　有限元

9、素法 (伽遼金法) 與調(diào)和方程狄利克雷問(wèn)題 (1.1) 等介的變分問(wèn)題還有另一種形式. 先在且為有限的假設(shè)下考察解. 由于, 由u使取到極小的性質(zhì), 對(duì)任一給定的實(shí)數(shù), 任一給定的, 成了. </p><p><b>　　其中. </b></p><p><b>　　注意到:</b></p><p>　　.

10、 (1.9)</p><p>　　且當(dāng)時(shí)它達(dá)到極小值, 因此有. 從而對(duì)任何給定的, 成立 (2.0). 反之, 若, 且對(duì)任何給定的成立 (1.9), 則必有 (1.6) 式成立. 事實(shí)上, 對(duì)任何, 令, 由 (1.9), (2.0)式就有:</p><p><b>　　. </b></p><p>　　這就得到了 (1.6) 式. 據(jù)此

11、, 我們可以定義廣義解如下: 若函數(shù) (由 (1.7)定義), 且對(duì)任何給定的滿足:</p><p>　　其中, 則稱狄利克雷問(wèn)題 (1.1) 的廣義解. </p><p>　　考察將上述變分問(wèn)題進(jìn)行離散化的方法. 這種數(shù)值求解方法乃稱為有限元素法. 為與上一段所敘述的里茨有限元素法相區(qū)別, 本段的方法稱為伽遼金法. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)

12、</b></p><p>　　谷超豪, 李大潛, 陳怒行等. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.</p><p>　　張?zhí)斓? 張希華, 王瑋. 偏微分方程差分格式的構(gòu)造[J]. 山東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 1997, 26(2): 245~246.</p><p>　　戴嘉尊, 邱建賢. 微分方程數(shù)值解法[M]. 南京: 東南大學(xué)出版社

13、, 2002.</p><p>　　張鎖春. 拋物型方程定解問(wèn)題的有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2010.</p><p>　　吳崇試. 數(shù)學(xué)物理方法[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1999.</p><p>　　陸金甫, 關(guān)治. 偏微分方程數(shù)值解法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003.</p><p>　　陳怒

14、行, 秦鐵虎. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社出版, 1991.</p><p>　　徐琛梅. 一類非線性偏微分方程差分格式的穩(wěn)定性分析[J]. 江西科學(xué), 2008, 27(3): 227~230.</p><p>　　劉盾. 實(shí)用數(shù)學(xué)物理方程[M]. 重慶: 重慶大學(xué)出版社, 1996.</p><p>　　J. F. B. M. Kraaijev

15、anger, H. W. J. Lenferink and M. N. Spijker. Step Size restrictions for stability in the numerical solution of ordinary and partial differential equations [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1987, 20(1