解析函數(shù)

1、CH2 解析函數(shù),1、解析函數(shù)的概念,2、解析函數(shù)的充要條件,3、初等函數(shù),1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義,,§2.1 解析函數(shù)的概念,2. 解析函數(shù)的概念,1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(1)導(dǎo)數(shù)定義,如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f (z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).,(1) Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零.,(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z),例1,(2)求導(dǎo)公式與法則,① 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、 c?=(a+ib)?=0.② (zn)?=nzn-1 (n是自然數(shù)).,證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有,----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣,,③ 設(shè)函數(shù)f (z),g (z) 均可導(dǎo)，則 [f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z)， [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z),④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f [g

3、(z)])? =f? (w)g?(z)， 其中w=g(z).,⑤ 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中: w=f (z)與z=?(w)互為單值的反函數(shù)，且??(w)?0.,,例3 問(wèn)：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？,例2,解,解,例4 證明 f (z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo).,證明,(1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得

4、 多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原故.,(2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉.,(3)可導(dǎo)與連續(xù),若 w=f (z) 在點(diǎn) z0 處可導(dǎo) w=f (z) 點(diǎn) z0 處連續(xù).,?,2. 解析函數(shù)的概念,(1) w=f (z) 在 D 內(nèi)解析 在D內(nèi)可導(dǎo). (2) 函數(shù)f

5、(z)在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析.,例如(1) w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù)；(2) w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù)； (3) w=zRez 在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析.,定理1 設(shè)w=f (z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解

6、析函數(shù).,定理 2 設(shè) w=f (h) 在 h 平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析, h=g(z) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值集合 G，則復(fù)合函數(shù)w=f [g(z)]在D內(nèi)處處解析.,§2.2 解析函數(shù)的充要條件,1. 解析函數(shù)的充要條件,2.舉例,如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析.,問(wèn)題

7、 如何判斷函數(shù)的解析性呢？,1. 解析函數(shù)的充要條件,記憶,,定理1 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內(nèi)有定義， 則 f (z)在點(diǎn) z=x+iy ∈D處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在點(diǎn) (x, y ) 可微，且滿(mǎn)足 Cauchy-Riemann方程,上述條件滿(mǎn)足時(shí),有,證明（由f (z)的可

8、導(dǎo) C-R方程滿(mǎn)足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo) 函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微）.,∵函數(shù) w =f (z)點(diǎn) z可導(dǎo)，即,則 f (z+ Δz)-f(z)=f ?(z)Δz+?(Δz)Δz (1), 且,Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy),=(aΔx-bΔy+?1Δx-?2Δy)+i(bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy),令：f

9、(z+Δz) - f (z)=Δu+iΔv，f ?(z)= a+ib， ?(Δz)=?1+i?2 故（1）式可寫(xiě)為,因此 Δu=aΔx-bΔy+?1Δx-?2Δy , Δv=bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy,所以u(píng)(x, y)，v(x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微.,（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿(mǎn)足 C-R方程 f (z

10、)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）,∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：,,定理2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微，且 滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái).,利用該定理可以判斷哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的.,

11、使用時(shí): i) 判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗(yàn)證C-R條件.,iii) 求導(dǎo)數(shù)：,前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的, 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意, 并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.,2. 舉例,例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析.,解 (1) 設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則,(2)∵ f (z)=

12、ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny,僅在點(diǎn)z = 0處滿(mǎn)足C-R條件，故,(3) 設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則,例2 求證函數(shù),證明 由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿(mǎn)足C-R條件：,故函數(shù)w=f (z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為,例3,證明,例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一

13、解析函數(shù)， 且 確定,練習(xí):,a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2,§2.3初等函數(shù),3. 對(duì)數(shù)函數(shù),1. 指數(shù)函數(shù),2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù),4. 冪函數(shù),5. 反三角函數(shù),1. 指數(shù)函數(shù),它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類(lèi)似的性質(zhì)：,定義,,,這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒(méi)有的.,,,,例1

14、,例2,例3,2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù),推廣到復(fù)變數(shù)情形,正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì),思考題,由正弦和余弦函數(shù)的定義得,其它三角函數(shù)的定義(詳見(jiàn)P51),雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì),3. 對(duì)數(shù)函數(shù),,(1) 對(duì)數(shù)的定義,,故,,(2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),例4,4. 乘冪 與冪函數(shù),乘冪ab,定義,,,—多值,—一般為多值,—q支,(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a 的 n次根意義一致.,(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，