沖激函數(shù)在動態(tài)電路分析中的應用

1、沖激函數(shù)在動態(tài)電路分析中的應用,1,,§-1 沖激函數(shù),單位沖激函數(shù)(unit impulse function)又稱狄拉克?函數(shù)，其定義為單位沖激函數(shù)可以看成是脈沖函數(shù)p?(t)在??0時的極限。當?減小時，脈沖函數(shù)的幅度1/?增加，而p?(t)曲線下的面積總保持為1，當?趨近于零時，即為單位沖激函數(shù)?(t)。,2,沖激函數(shù)的強度,沖激函數(shù)所含的面積稱為沖激函數(shù)的強度，單位沖激函數(shù)為強度為1單位的沖激函數(shù)。對沖激電流

2、來說，其強度的量綱為安培·秒，即庫侖。單位沖激電流是指強度為1庫侖，而不是指幅度為1單位(即1安培)的沖激電流。沖激電流的幅度趨于無限大，移動的電荷為1庫侖，這些電荷的移動是在極其短促(趨于零)的時間內(nèi)完成的，因而電流的幅度極大。,3,單位延時沖激函數(shù),單位延時沖激函數(shù)的定義為,4,單位延時沖激函數(shù)?(t-t0)可設想為：在t=t0處寬度趨于零，而幅度趨于無限大，但具有單位面積的脈沖。在t0處強度為A的沖激函數(shù)記為A?(t

3、-t0)。對沖激電流來說可表為Q?(t-t0)；對沖激電壓來??(t-t0)。,其他形狀脈沖的極限情況,沖激函數(shù)一般看成是矩形脈沖函數(shù)的極限情況，其他形狀脈沖的極限情況也可作為單位沖激的近似。具有單位面積的三角形脈沖，當?趨近于零時，可作為單位沖激的近似。,5,負指數(shù)函數(shù),當??0時，f(t)趨近于單位沖激函數(shù)。,6,令,§-2 沖激函數(shù)的性質(zhì),沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的導數(shù),7,根據(jù)定義,故得,沖激函數(shù)的性質(zhì),篩分性：除了在原

4、點外，對所有t，?(t)=0，因此，除了t=0外，對所有t，乘積f(t)?(t)也將為零。在t=0，f(t)=f(0)，故得,8,§-3電容電壓和電感電流的躍變,若電容的電流只能為有限值，則電容電壓不能躍變；若電感的電壓只能為有限值，則電感電流不能躍變。在實際電路中，由于電路滿足KCL和KVL，電容電壓和電感電流發(fā)生躍變都是可能出現(xiàn)的，在這種情況下，電容電流和電感電壓都應為無限大。當電容電壓和電感電流發(fā)生躍時，討論電容電壓

5、和電感電流初始值的計算問題，就需要運用沖激電流和沖激電壓的概念。,9,沖激電流概念,由電容的VAR 可表為,10,設t0=0-，t=0+,若Q?(t)流經(jīng)電容,電容的沖激電流,若不存在沖激電流，電容電壓不能躍變。有沖激電流作用時，則電容電壓可以躍變，躍變前后的電壓應服從 其中Q為沖激電流的強度，亦即為由t=0-至t=0+期間電容所獲得的電荷。對單位電荷,11,沖激電壓的概念,由電感的VAR可表為,12,設t0=0-，

6、t=0+,在有沖激電壓作用時，則電感電流可以躍變，其中?為沖激電壓的強度，為由t0=0-到t=0+期間電感所獲得的磁鏈。,若沖激電壓為??(t),例-2,l?F電容兩端的電壓如圖，求電容電流并給波形圖。己知u(t)=50e-105tV，0＜t＜5×10-6s。解 設電容電壓、電流的參考方向一致。從波形可以看到在t=0和t=5?s時波形不連續(xù)，因此，在t=0和t=5?s時的沖激電流強度為,13,,例-3,電路如圖所示，開關在

7、t=0時閉合，已知uC1(0-)=US, uC2(0)=0，求uC1(0+)及uC2(0+)，iC1(t)，iC2(t)，t?0。,14,解 由KVL可知，開關閉合后的瞬間，兩電容的電壓必須相等。但uC1(0-)?uC2(0-)，因此在這一瞬間電容電壓有躍變:,,解答,電容電壓發(fā)生躍變，就必須要有沖激電流流過電容。在電路中流過電阻R的電流不可能含有沖激電流。沖激電流只可能在電容回路中流動。按圖中所設電容電流方向，由KCL可得uC(0

8、+),15,解答,各電流為,16,在0-至0+期間，iC1(t)及iC2(t)中含有沖激電流，故得,§-4 沖激響應,零狀態(tài)電路對單位沖激信號的響應稱為(單位)沖激響應，用h(t)表示?？梢哉J為沖激信號作用于零狀態(tài)的電路時，立即在電路中建立了初始狀態(tài)，t=0后電路的響應即由該初始狀態(tài)產(chǎn)生。對于t＞0，沖激響應h(t)是零輸入響應，它與由任何其他方式產(chǎn)生的同一初始狀態(tài)所形成的零輸入響應沒有區(qū)別。計算沖激響應時，先計算由?(t

9、)產(chǎn)生的在t=0+時的初始狀態(tài)，然后求解由這一初始狀態(tài)所產(chǎn)生的零輸入響應。此即為t＞0時的沖激響應h(t)。,17,例-8,試求電路中電流及電感電壓的沖激響應。,18,解 把電感看作開路，作出t=0時的等效電路(b)。來自沖激電源的沖激電壓全部出現(xiàn)于電感兩端。 關于沖激電壓全部出現(xiàn)于電感可理解如下：如果沖激電壓出現(xiàn)于電阻，則在電阻中將產(chǎn)生沖激電流，因而電感中也將有沖激電流，這樣，電感電壓將為沖激偶電壓，無法滿足KVL。,,解答,

10、確定電感電壓為?(t)后，可得,19,t>0時電感電壓,t=0時,有沖激電壓出現(xiàn),t=0時電感電壓,零輸入響應,§-5 由階躍響應求沖激響應,線性非時變電路有一個重要的性質(zhì)：如果激勵x產(chǎn)生響應y，那末， 激勵 將產(chǎn)生響應為 ； 激勵 將產(chǎn)生響應為 K為積分常數(shù)。線性非時變電路的沖激響應是它的階躍響應的

11、導數(shù)，即,20,例,求RC并聯(lián)電路在沖激電流源?(t)作用下電壓u(t)的沖激響應。,21,解 電路中電壓u的階躍響應為,電容電壓發(fā)生了1/C的躍變,,例-12,試用諾頓定理求解補償分壓器的輸出壓u2(t)。,22,解 諾頓定理能用于線性動態(tài)電路。ab的左邊部分可以用一個諾頓等效電路代替，即可以用一個電流源與N0的并聯(lián)組合代替。等效電流源的電流is(t)等于原電路中ab端的短路電流，見圖(b)。,,解答,N0為ab左邊部分各獨立源

12、及初始條件置零后的網(wǎng)絡，即R1與C1的并聯(lián)組合。,23,由圖(b)求短路電流時，電流可看成是電阻支路電流和電容支路電流之和。 電阻支路的電流為?(t)/Rl。階躍電壓?(t)作用于電容，意味著電容電壓發(fā)生躍變，因而電容支路的電流為C1?(t)。,解答,運用疊加定理，階躍電流作用于電路時，u2(t)的分量u21(t)為,24,沖激電流產(chǎn)生u2(t)的分量u22(t)。由于u21(t)與R1的乘積即為該電路的單位階躍響應，其導數(shù)為

13、沖激響應,§-6 線性非時變電路對任意輸入的響應,電路的沖激響應和該電路的零輸入響應相同，而電路的零輸入響應的形式只與電路本身的性質(zhì)有關，與激勵的形式無關。沖激響應是電路本身固有性質(zhì)的反映，是表明電路特征的一種方式。一旦有了電路的沖激響應就可以得到該電路在任意輸入作用下的響應，毋需知道描述該電路的微分方程。設網(wǎng)絡N為零狀態(tài)，在輸入x(t)的作用下，網(wǎng)絡某處的響應為y(t)，如何用x(t)來表示y(t)呢?,25,任意輸入

14、響應,設網(wǎng)絡N的沖激響應為h(t)。由于不同的網(wǎng)絡對同樣的沖激激勵，N的響應不同，網(wǎng)絡N可用它的沖激響應表征。h(t)是沖激在t=0時作用所產(chǎn)生的響應，由于網(wǎng)絡是非時變的，對于在t=?時作用的沖激，其響應必為h(t-?),圖(b)。如果作用于N的沖激不是單位沖激而是強度為x(?)的沖激，那末，由于網(wǎng)絡是線性的，其響應必為x(?)h(t-?)，圖(c)。,26,a,b,c,響應是激勵與沖激響應的卷積,?可以有不同的數(shù)值，如果把對應于所

15、有?值的上述激勵之和作為N的輸入，則根據(jù)疊加定理，輸出就應該是上述響應之和。,27,把激勵的積分作為輸入，則響應的積分便是輸出，即,響應是激勵與沖激響應的卷積,卷積性質(zhì),在卷積積分中沖激響應h(t)和輸入x(t)可以交換。對于物理上可實現(xiàn)的網(wǎng)絡，響應(輸出)不能先于激勵(輸入)。沖激響應h(t)是對沖激激勵?(t)的響應，當t<0時，?(t)=0，因而沖激響應h(t)=0。,28,卷積性質(zhì),如果只限于討論輸入在t=0時作用

16、到網(wǎng)絡的情況，亦即,29,例-13,已知RL串聯(lián)電路電流的沖激響應h(t)＝e-t?(t)，試求該電路在階躍電壓?(t)作用下的響應i(t)。,30,解 RL串聯(lián)電路中，如果該電路電流的沖激響應h(t)，利用卷積積分即可求得在任何輸入作用下的響應i(t)。,,卷積圖示說明,31,習題-15,(1)求圖(a)所示電路中電壓u(t)的沖激響應。(2)求圖(b)所示電路中電流i(t)的沖激響應。,32,,解 (1)已知uC(0-)=0。在

17、0-＜t＜0+期間，沖激電流?(t)在電阻上產(chǎn)生沖激電壓：,沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變：,t>0時，沖激電流消失，電流源相當于開路。這時， 電阻上沒有電壓，電容電壓保持不變。得到u(t)的單位沖激響應為,解答,(2) (b)電路與(a)電路是互為對偶的?？梢园磳ε缄P系直接變換出i(t)的單位沖激響應為,33,習題-21,電路如圖，以i2(t)為所求響應。(1)求沖激響應；(2)利用卷積積分和(1)的結(jié)果求階躍響應；(3)求