凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應(yīng)用

1、凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應(yīng)用凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應(yīng)用摘要本文通過對(duì)凸函數(shù)定義及性質(zhì)定理的介紹歸納了判定凸函數(shù)的幾種方法并用于討論初等代數(shù)中關(guān)于函數(shù)凸性的問題進(jìn)一步提高了運(yùn)用這些方法解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的能力.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞凸函數(shù)判別不等式應(yīng)用中圖分類號(hào)中圖分類號(hào)O174.13174.131引言引言函數(shù)的凹凸性主要用于高等數(shù)學(xué)中例如凸函數(shù)在泛函分析、最優(yōu)化理論以及數(shù)學(xué)規(guī)劃和控制論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用而在初等代數(shù)中并沒有相關(guān)的概念以及系統(tǒng)的定義、性質(zhì)

2、但它在初等代數(shù)解題中頻頻出現(xiàn).例如有些對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)以及一些不等式的計(jì)算或證明往往看起來很復(fù)雜甚至無從下手若用常規(guī)方法去解決會(huì)相當(dāng)困難再加上計(jì)算量大且繁鎖使許多人產(chǎn)生厭學(xué)數(shù)學(xué)的情緒但如果利用凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)給予計(jì)算或證明則會(huì)起到簡(jiǎn)捷明了、事半功倍的效果.為了培養(yǎng)與提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣讓學(xué)生初步掌握凸函數(shù)相關(guān)性質(zhì)是很必要的.因此本文通過凸函數(shù)的基本知識(shí)及相關(guān)性質(zhì)的介紹歸納了判定其凸性的幾種方法并用于討論初等代數(shù)中關(guān)于函數(shù)凸性的問題.2

3、預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)定義定義設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)若對(duì)上的任意兩點(diǎn)[1]1f（x）[]ab[]ab1x和任意實(shí)數(shù)總有2x(01)??1212((1))()(1)()fxxfxfx?????????(1)則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).反之如果總有f（x）[]ab.1212((1))()(1)()fxxfxfx?????????(2)則稱為區(qū)間上的凹函數(shù).f（x）[]ab定義定義若在區(qū)間上有定義當(dāng)且僅當(dāng)曲線的切線恒保??22()fx[]aby()fx?

4、持在曲線以下則稱為上的凸函數(shù).()fx[]ab性質(zhì)性質(zhì)若在區(qū)間上為凸函數(shù)則當(dāng)時(shí)在上也1()fx[]ab1[]Iab?f（x）1I為凸函數(shù).性質(zhì)性質(zhì)若在區(qū)間都為凸函數(shù)則在區(qū)間2()fx()gx[]ab()()fxgx?[]ab上也為凸函數(shù).性質(zhì)性質(zhì)若在區(qū)間上為凸函數(shù)則當(dāng)時(shí)在區(qū)間上3()fx[]ab0a?()afx[]ab23.13.1定義法定義法一些基本的初等函數(shù)可以直接用定義去判別它的凸性.例如.由2()(0)fxxx??定義1對(duì)有12

5、(01)0xx????1212()(1)()((1))fxfxfxx?????????2221212(1)[(1)]xxxx??????????212(1)()0xx??????即1212((1))()(1)()fxxfxfx?????????所以為上的凸函數(shù).2()fxx?(0)??3.23.2定理法定理法例1判別函數(shù)的凸性.()xfxe?解令且則123()xxx?????123xxx??21212121()()xxfxfxeexxx

6、x?????32323232()()xxfxfxeexxxx?????由定理1有32213221()()()()0fxfxfxfxxxxx??????所以為上的凸函數(shù).()xfxe?()????例2判別的凸性.2()ln(1)fxx??解由于22()1xfxx???22222()(1)xfxx?????則由定理2知當(dāng)2220x???即時(shí)有.故在上為凸函數(shù)在11x???()0fx??2()ln(1)fxx??[11]?(1)????上為凹