第9章

1、第9章 隨機信號通過線性系統(tǒng),9.0 引言 9.1 隨機信號的概念 9.2 連續(xù)隨機信號的統(tǒng)計特征 9.3 離散隨機信號的統(tǒng)計特征 9.4 線性連續(xù)系統(tǒng)分析 9.5 線性離散系統(tǒng)分析 9.6 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析,9.0 引 言,由于系統(tǒng)輸入是隨機信號，所以輸出也是隨機信號，一般不能用顯式表示。隨機信號一般用統(tǒng)計特性描述，因此，隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析問題通常是分析輸入與輸出的一、二階統(tǒng)計特征(或數(shù)字特

2、征)之間的關(guān)系。  對于連續(xù)時間系統(tǒng)，分析任務(wù)是給定輸入x(t)的一、 二階統(tǒng)計特性（均值、均方值、方差、相關(guān)函數(shù)和功率密度譜函數(shù)）和系統(tǒng)的特性(沖激響應(yīng)h(t)、傳遞函數(shù)H(s)和頻率特性H(jω)), 求輸出的一、二階統(tǒng)計特征和輸入與輸出之間的統(tǒng)計特征（互相關(guān)函數(shù)和互譜密度）。,對于離散時間系統(tǒng)，情況也類似，只是h(t)、H(s)、H(jω)分別用 h(k)、H(z)、H(e jω)代替。  由于輸

3、入隨機信號又可區(qū)分為平穩(wěn)隨機信號和非平穩(wěn)隨機信號， 因此，相應(yīng)有兩種情況的分析。本章只討論平穩(wěn)隨機信號分析， 此時輸入是平穩(wěn)的，系統(tǒng)特性是確定的和穩(wěn)定的，經(jīng)過一段過渡時期后，輸出最終也是平穩(wěn)的。 分析任務(wù)是求輸出進入平穩(wěn)狀態(tài)后的均值my，方差Dy，自相關(guān)函數(shù)Ryy(τ), 功率密度譜Sy（jω），以及輸入和輸出間的互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)，互譜密度Sxy（jω）等。,,9.1 隨機信號的概念,9.1.1 隨機過程和隨機信號的概念,在概

4、率論中介紹過隨機變量的概念，設(shè)X是一個隨機變量，則X的取值是隨機的，通常用概率密度函數(shù)f(x)描述。如果使上述隨機變量X隨時間t改變，即表示為X(t)，這時稱X(t)是一個隨機過程。 這就是隨機過程概念的簡單描述。  隨機信號也是隨機過程。設(shè)X(t)是一個隨機信號，當(dāng)t=t0時，X(t0)為一個隨機變量。,設(shè)有一個隨機信號產(chǎn)生器，若有甲、乙兩個同學(xué)分別去做實驗并觀察實驗結(jié)果，甲觀察到的實驗輸出波形為x1(t)，乙觀察得

5、到的實驗輸出波形為x2(t)，x1(t)≠x2(t)，如圖9.1所示。同理， 設(shè)有N個同學(xué)分別去做實驗，得到實驗結(jié)果就分別為x1(t)，x2(t)， …, xN(t)。也就是說，隨機信號產(chǎn)生器產(chǎn)生的隨機信號X(t)，在同一時刻t (例如t=t0)可能輸出不同的值，若實驗觀察， 事先是不知道X的取值，即時間t給定時X(t)是一個隨機變量。,圖 9.1-1 隨機信號X(t),顯然，隨機信號X(t)有如下兩個特點：  （1）在定

6、義的觀察區(qū)間內(nèi)， X(t)是以時間t為參變量的隨機函數(shù)；  （2） 給定t，它是一個隨機變量， 即X(t)在t時刻的取值是隨機變化的。  現(xiàn)實生活中隨機信號的例子很多，如噪聲電壓信號，某區(qū)域海浪高度的變化，某一區(qū)域風(fēng)向的變化，某一河流的流量變化，交易市場指數(shù)的變化，等等，它們都是隨機信號。,9.1.2 隨機信號的分布函數(shù)和概率密度,定義 9.1-1 隨機信號X(t)的分布函數(shù)定義為隨機變量X在t時刻的取值小

7、于x的概率， 即,定義 9.1-2 隨機信號X(t)的概率密度函數(shù)定義為,為了描述隨機信號在不同時刻t1, t2, …, tn的內(nèi)在聯(lián)系，同理, 可以分別定義如下所示的n維聯(lián)合分布函數(shù)和n維聯(lián)合概率密度函數(shù)：,,9.2 連續(xù)隨機信號的統(tǒng)計特征,9.2.1 均值 均值或稱數(shù)學(xué)期望，是隨機信號X(t)在同一時刻所有樣本取值的統(tǒng)計平均值。它可以定義如下。,定義 9.2-1,當(dāng)隨機信號X(t)為（嚴格）平穩(wěn)隨機過程時，滿足如

8、下條件：,定義 9.2-2 隨機信號X(t)的均方值或二階原點矩定義為,這種隨機信號X(t)稱為平穩(wěn)隨機信號。而不滿足上式條件的隨機信號就稱為非平穩(wěn)隨機信號。  顯然，對平穩(wěn)隨機信號X(t)有:f(x,t)=f(x)，mx(t)=mx。即平穩(wěn)隨機信號的均值是一個常數(shù)。,同理，平穩(wěn)隨機信號X(t)的均方值E［X2(t)］也是一個與時間t無關(guān)的常數(shù)。,9.2.2 方差,定義 9.2-3 隨機信號X(t)的方差定義為,對平

9、穩(wěn)隨機信號X(t)而言，方差是一個與時間t無關(guān)的常數(shù)：,方差又稱為二階中心矩。方差的數(shù)值越大，表示X(t)的各樣本偏離均值的程度越大，各樣本取值的分散程度也越大。方差的算術(shù)平方根σx稱為標(biāo)準差。,下面給出方差與均值和均方值三者之間的關(guān)系。,對于平穩(wěn)隨機信號X(t)而言，有,即方差 等于隨機信號平方的均值E［X2(t)］減去隨機信號的均值mx的平方。如果用X(t)表示1歐姆電阻上的噪聲電流或電壓，則均方值表示消耗在

10、單位電阻上的瞬時功率（由交流和直流兩部分組成）的統(tǒng)計平均值，均值平方表示消耗在單位電阻上的等效直流功率； 方差就表示消耗在單位電阻上的瞬時交流功率的統(tǒng)計平均值。,9.2.3 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù),1． 自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)是描述隨機信號X(t)在任意兩個不同時刻t1， t2 取值之間的相關(guān)程度。  定義 9.2-4 實隨機信號X(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為,由于平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與時間的起點無關(guān)

11、，設(shè)t2=t1+τ, 則有f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; τ)。所以，平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)是時間間隔τ的函數(shù)，記為Rxx(τ)。,2． 自協(xié)方差函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)是描述隨機信號X(t)在任意兩個不同時刻t1，t2取值之間的二階混合中心矩，它用來描述X(t)在兩個時刻取值的起伏變化（相對于均值）的相關(guān)程度，也稱為中心化的自相關(guān)函數(shù)。 定義 9.2-5 實隨機信號X(t)的

12、自協(xié)方差函數(shù)定義為,當(dāng)mx(t1)=mx(t2)=0時，有Cxx(t1,t2)=Rxx(t1, t2) 。  顯然，自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)描述的特性基本相同。  對于平穩(wěn)隨機信號，自協(xié)方差函數(shù)是時間間隔τ的函數(shù)，記為Cxx (τ), 且有,當(dāng)均值mx=0時，有Cxx(τ)=Rxx(τ)。,當(dāng)隨機過程X(t)的均值為常數(shù)時，相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ=t2-t1有關(guān)，且均方值為有限值時，則稱X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平

13、穩(wěn)隨機過程。它是由一、 二維數(shù)字特征定義的。 一般所說的平穩(wěn)過程都是指這種寬平穩(wěn)隨機過程。,3．平穩(wěn)隨機信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)為Rxx(τ)，自協(xié)方差函數(shù)Cxx(τ)，則它們有如下性質(zhì)：  （1） τ=0時的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， 即,（2）當(dāng)平穩(wěn)隨機信號是實函數(shù)時，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即：,（3）τ=0時的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即,（4）若X(t)=X

14、(t+T)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為T的周期函數(shù)，即,（5）若均值mx=0，當(dāng)τ→∞時，X(t)與X(t+τ)相互獨立，有,即對于零均值的平穩(wěn)隨機信號，當(dāng)時間間隔τ很大時，X(t)與X(t+τ)相互獨立，互不相關(guān)。,9.2.4 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù),定義 9.2-6 隨機信號X(t) 、Y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為,定義 9.2 - 7 隨機信號X(t) 、Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)定義為,如果Cxy(t1, t2)=0，則稱隨機信

15、號X(t) 與Y(t)之間互不相關(guān)。 對于兩個平穩(wěn)隨機信號而言，其互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔τ=t2-t1有關(guān)，分別表示如下: 平穩(wěn)隨機信號X(t) 、Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為,平穩(wěn)隨機信號X(t) 、Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)為,9.2.5 功率密度譜Sx(jω)和互譜密度Sxy(jω),1. 功率密度譜Sx(jω) 設(shè)X(t)為平穩(wěn)的連續(xù)隨機信號，它的任一個樣本函數(shù)x(t)是一個

16、功率信號，其平均功率可以定義為,依據(jù)帕塞瓦爾定理，設(shè)XT(jω)表示xT(t)=x(t)·G2T(t)的傅里葉變換，則上式可表示為,式中，p(jω)稱為樣本功率密度或樣本功率譜。,由于隨機信號的每一個樣本實現(xiàn)都是不能預(yù)知的，所以，必須用所有樣本功率密度的統(tǒng)計平均值來描述平穩(wěn)的連續(xù)隨機信號X(t)的頻域特征，即隨機信號在頻域的數(shù)字特征可定義如下。  定義 9.2-8 平穩(wěn)的連續(xù)隨機信號X(t)的功率密度譜定義

17、為樣本功率密度的統(tǒng)計平均，即,維納-欣欽(Wiener-Khinchine)定理: 若X(t)為平穩(wěn)隨機信號，當(dāng)自相關(guān)函數(shù)絕對可積時，自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)和功率密度譜Sx(jω)為一傅里葉變換對: Rxx(τ)←→ Sx(jω)。 其中：,2. 互譜密度Sxy(jω) 同理，在頻域描述兩個隨機信號X(t)和 Y(t)相互關(guān)聯(lián)程度的數(shù)字特征時，可以定義互譜功率密度,簡稱互譜密度Sxy(jω)。而且，

18、互相關(guān)函數(shù)與互譜密度是一傅里葉變換對:Rxy(τ)←→Sxy (jω)。其中：,例 9.2-1 已知隨機信號X(t)=A sin(ω0t+θ)，其中A和ω0為常數(shù)，為隨機變量，在區(qū)間［0, 2π］上服從均勻分布，求隨機信號X(t)的功率密度譜和平均功率。  解 按定義分別求出隨機信號X(t)的均值和相關(guān)函數(shù)：,由于均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)，所以X(t)為寬平穩(wěn)隨機信號。 利用維納-欣

19、欽定理可求得X(t)的功率密度譜為,X(t)的平均功率為,,9.3 離散隨機信號的統(tǒng)計特征,當(dāng)對連續(xù)隨機信號X(t)進行時間采樣后，即只在離散時刻取值，就形成離散隨機信號。離散隨機信號表示為：X(t1), X(t2), …, X(tk)，…；它是由一串離散隨機變量構(gòu)成的序列， 所以常稱為隨機序列，可簡單地用X(k)或{X(1), X(2), …, X(k)，…}表示。 隨機序列X(k)的統(tǒng)計特性描述（分布函數(shù)和概率密度

20、函數(shù)）類似于X(t)， 只不過時間變量k取值限定為整數(shù)。,9.3.1 均值、均方值和方差,隨機序列X(k)的均值為,隨機序列X(k)的均方值為,隨機序列X(k)的方差為,三者的相互關(guān)系為,9.3.2 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù),1. 自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)是描述隨機信號X(k)在任意兩個不同時刻k1、k2的取值X(k1)和X(k2)之間的相關(guān)程度。,定義 9.3-1 若離散隨機信號X(k)的均值為一常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與取樣時

21、間差n=k2-k1有關(guān)，即可表示為Rxx(n)，且它的均方值為有限值，即滿足,則稱隨機序列X(k)為（廣義）平穩(wěn)離散時間隨機信號。,2. 自協(xié)方差函數(shù) 同理，自協(xié)方差函數(shù)描述隨機信號X(k)在任意兩個不同時刻k1， k2的取值起伏變化之間的相關(guān)程度。,對于平穩(wěn)離散時間隨機信號，自協(xié)方差函數(shù)只與取樣時間間隔n=k2-k1有關(guān)，即可表示為,3. 互相關(guān)函數(shù) 類似于連續(xù)隨機信號的情況，兩個隨機序列X(k)、Y

22、(k)之間的相關(guān)程度由互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)描述。  兩個隨機序列的互相關(guān)函數(shù)為,對于平穩(wěn)離散隨機信號，互相關(guān)函數(shù)只與取樣時間間隔n=k2-k1有關(guān)，即可表示為Rxy(n)。,4. 互協(xié)方差函數(shù)同理，兩個隨機序列X(k), Y(k)之間的互協(xié)方差函數(shù)為,對于兩個平穩(wěn)離散隨機信號，互協(xié)方差函數(shù)只與取樣時間間隔n=k2-k1有關(guān)，即可表示為,9.3.3 功率密度譜和互譜密度,1. 功率密度譜 根據(jù)維納

23、-欣欽定理，零均值平穩(wěn)離散時間隨機信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率密度譜是一離散傅里葉變換對。  設(shè)X(k)是一個零均值的平穩(wěn)離散時間隨機信號，其自相關(guān)函數(shù)為,當(dāng)Rxx(n)滿足絕對可和時，即 ，則定義功率密度譜Sx(jω)為序列Rxx(n)的離散時間傅里葉變換（DFT）， 即,式中，T為采樣間隔。這時序列的功率密度譜Sx(jΩ)在頻域是以ωs=2π/T或Ωs=2π為周期的周期性連續(xù)函數(shù)

24、。其離散傅里葉反變換（IDFT）為,若令n=0，則有,Z的反變換為,2. 互譜密度Sxy(jΩ) 同理，兩個零均值平穩(wěn)離散時間隨機信號的互相關(guān)函數(shù)與其互譜密度也是一對離散傅里葉變換對: Rxy(n)←→Sxy(jΩ), 其中：,,9.4 線性連續(xù)系統(tǒng)分析,9.4.1 時域分析,設(shè)h(t)為一線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)隨機信號X(t)，則系統(tǒng)輸出零狀態(tài)響應(yīng)Y(t)為,1. Y(t)的均值,當(dāng)輸入X(t

25、)為平穩(wěn)隨機信號時，其均值為常數(shù)，即mx(t)=mx； 故輸出隨機信號的均值為,2. Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和方差,輸出隨機信號Y(t)的方差為,若X(t)為平穩(wěn)隨機信號，則Rxx(t-u, t+τ-v)=Rxx(τ+u-v)， 故上式可寫為,顯然，輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)與時間起點無關(guān)，因此，當(dāng)線性時不變系統(tǒng)輸入寬平穩(wěn)隨機信號時，其輸出也是寬平穩(wěn)隨機信號。,3. 輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù),當(dāng)X(t)為平穩(wěn)隨機信號時，則Rxx(t, t+τ

26、)=Rxx(τ)， 故上式可寫為,同理可求得,例 9.4-1 已知線性時不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為h(t)=e-atε(t), a＞0；系統(tǒng)輸入為零均值平穩(wěn)隨機信號，其自相關(guān)函數(shù)為Rxx(τ)=bδ(τ), b＞0。 試求：（1） 輸出隨機信號Y(t)的自相關(guān)函數(shù)； （2） 輸出平均功率； （3） 輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)。,解,（1） 由(9.4-5)式， 得,（2）平均功率,（3）,9.4.2 頻域分析,1. 系統(tǒng)在頻域的傳

27、輸函數(shù)H(jω),因為 , 輸出的均值為,2. 系統(tǒng)輸出的自功率密度譜Sx(jω),對平穩(wěn)隨機信號有,對上式兩邊取傅里葉變換， 得,即系統(tǒng)輸出的自功率密度譜等于輸入的自功率密度譜乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方。,3. 系統(tǒng)輸入、輸出的互功率密度譜Sxy(jω),對上式兩邊取傅里葉變換，得,利用上式還可以求解系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(jω)：,,9.5 線性離散系統(tǒng)分析,9

28、.5.1 時域分析,設(shè)h(k)是線性時不變離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，X(k)是輸入隨機序列，則輸出隨機序列為h(k)與X(k)的卷積和， 即,輸出Y(k)的均值按均值的定義， 有,當(dāng)X(k)為平穩(wěn)隨機序列時，均值為常數(shù)，即mx=mx(k)=mx(k-i)， 因此,2. 輸出Y(k)的自相關(guān)函數(shù)按自相關(guān)函數(shù)的定義，有,當(dāng)X(k)為平穩(wěn)隨機序列時，有,即輸出Y(k)也為平穩(wěn)隨機序列。當(dāng)n=0時, 由(9.3 - 4)式，可得輸出隨機

29、序列的平均功率為,3. 輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù),依互相關(guān)函數(shù)的定義，有,當(dāng)X(k)為平穩(wěn)隨機序列時，輸出也為平穩(wěn)隨機序列， 有,同理可求得Ryx(n)為,9.5.2 Z域分析和頻域分析,由于離散系統(tǒng)的Z域分析比較簡便，所以，隨機序列通過離散系統(tǒng)的變換域分析，可先進行Z變換域分析。如果Z域分析結(jié)果的收斂域在Z平面的單位圓之內(nèi)，只要將z=ejωT=e jΩ代入Z域分析結(jié)果，就得到頻域的分析結(jié)果。  設(shè)線性時不變離散系

30、統(tǒng)的Z域傳輸函數(shù)為,當(dāng)輸入為平穩(wěn)隨機序列X(k)，其均值為mx時，則輸出隨機序列Y(k)的均值為,根據(jù)維納-欣欽定理，平穩(wěn)離散隨機序列的相關(guān)函數(shù)與Z域的功率密度譜構(gòu)成Z變換對。即有,當(dāng)X(k)為平穩(wěn)隨機序列時，輸出Y(k)也為平穩(wěn)隨機序列。,上式兩邊取Z變換，有,進行Z變換，可得,若以上三式的Z變換結(jié)果的收斂域在Z平面的單位圓之內(nèi)，只要將z=ejωT=ejΩ代入Z域分析結(jié)果，就可分別得到輸出功率密度譜和互功率密度譜。即有,或者,例9.5

31、–1 已知一線性時不變離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為： h(k)=akε(k), 0＜a＜1。輸入為平穩(wěn)隨機序列X(k)，其自相關(guān)函數(shù)為Rxx(n)=N2δ(n)。試求系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)Ryy(n)，平均功率Sy和自功率密度譜。,解,輸出平均功率為,輸入序列的自功率密度譜為,系統(tǒng)Z域傳輸函數(shù)為,因為H(z)的收斂域包含|a|=1，所以有,,9.6 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析,定義 9.6 –1 如果隨機過程X(t)的取值X(ti)和X(tj)

32、對于每個ti、tj(ti≠tj)都不相關(guān)，即,則稱隨機過程X(t)為白噪聲。,由上述定義可以看出，白噪聲信號在不同時刻的取值都不相關(guān)，相關(guān)函數(shù)只在τ=tj-ti=0時可以取非零值。因此，白噪聲信號X(t)的自協(xié)方差函數(shù)一般可寫為,例 9.6 - 1 設(shè)功率密度譜為常數(shù)σ2的白噪聲信號，通過一低通濾波器，該濾波器的傳輸函數(shù)為,其中K＞0, t0＞0為常數(shù)，ω0＞0為低通濾波器的截止頻率。求輸出噪聲的功率密度譜、自相關(guān)函數(shù)和輸出的平均功率。

33、 解 依題意知：輸入白噪聲的功率密度譜為Sx(ω)=σ2，系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方為,求出輸出功率密度譜為,由維納-欣欽定理知：,可求出輸出噪聲自相關(guān)函數(shù)為,所以濾波器輸出的噪聲功率為,例 9.6 – 2 一離散時間平穩(wěn)白噪聲信號X(k)，其自功率密度譜為 ，通過一階有限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器,求輸出噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)、自功率密度譜和平均功率。,解 因為,依題意， 系統(tǒng)傳輸函數(shù)為,單位脈沖響應(yīng)為h(k)=bk