一維線性Helmholtz方程的緊致差分?jǐn)?shù)值模擬.pdf

1、本文考慮如下的一維Helmholtz方程（此處公式省略）
　　其中，k為波數(shù),f為源函數(shù)＃為待求函數(shù)表示波場(chǎng)的壓力.
　　Helmholtz方程主要描述的是一類波傳播現(xiàn)象，包括電磁波、聲波、光福射等，在工程實(shí)際和科學(xué)技術(shù)中有很重要應(yīng)用.其數(shù)值求解是微分方程數(shù)值解法研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.
　　對(duì)于有界區(qū)域上的Helmholtz方程，高階緊致方法大都采用的是緊致有限差分法.此方法缺點(diǎn)是在處理非一致網(wǎng)格時(shí)會(huì)降低格式的精度，

2、并且不具有守恒性.因此，在本文第一章中我們采用緊致有限體積方法研究有界區(qū)域上Helmholtz方程相關(guān)的邊值問(wèn)題.第一章第二節(jié)中介紹了Helmholtz方程的由來(lái)及物理背景;第三、四節(jié)中分別提出了一維Helmholtz方程基于Dirichlet和周期邊值問(wèn)題的四階緊致有限體積方法；第五節(jié)的兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明給出的兩種格式均是四階格式，并且周期邊值問(wèn)題的格式對(duì)于大波數(shù)問(wèn)題同樣適用.
　　對(duì)于無(wú)界區(qū)域上的Helmholtz方程，區(qū)域的無(wú)

3、界性給此類問(wèn)題的數(shù)值求解帶來(lái)很大的困難.目前，完美匹配層(PML)是解決此困難的有效方法之一.引入完美匹配層使得波穿過(guò)內(nèi)邊界處不產(chǎn)生反射，在層中有阻尼，使得波進(jìn)入吸收層后迅速衰減，并在達(dá)到吸收層外邊界時(shí)衰減到零，以便在計(jì)算中可以使用簡(jiǎn)單的齊次邊條件.從而，在有限計(jì)算區(qū)域上帶人工邊界條件的邊值問(wèn)題是原問(wèn)題的很好地近似.基于這些考慮，本文第二章在無(wú)界區(qū)域上構(gòu)造完美匹配層(PML)，使大部分外行的波都能被吸收.第二章第二節(jié)中，我們采用復(fù)坐標(biāo)延

4、伸法，得到了Helmholtz方程的PML-Helmholtz方程.由此，無(wú)界區(qū)域上的Helmholtz方程就簡(jiǎn)化為有界計(jì)算區(qū)域上的邊值問(wèn)題.
　　有限體積法和有限差分法是數(shù)值求解PML-Helmholtz方程邊值問(wèn)題的有效方法之一.本文在第二章第三節(jié)中對(duì)此問(wèn)題提出了有限體積格式，得到了較好的數(shù)值結(jié)果，但精度不高.而有限差分方法往往產(chǎn)生嚴(yán)重的數(shù)值頻散，高階顯式有限差分格式需要用較多的網(wǎng)格點(diǎn)，同時(shí)也不利于邊界的處理.為此，我們分別采