極坐標下Helmholtz方程的高階緊致差分方法研究.pdf

1、Helmholtz方程是一類重要的物理方程，如電磁場中的波導問題、噪聲的控制、薄膜振動問題等都是由Helmholtz方程控制的.近年來，許多學者運用有限體積法、有限元法、有限差分法等數(shù)值方法在數(shù)值求解Helmholtz方程方面做了大量工作，方法的求解精度可達四階、六階或更高階.當波數(shù)為分段常數(shù)時，采用有限差分方法求解Helmholtz方程，求解精度常無法達到預(yù)期精度，方法甚至不可用.對這一類情況，浸入界面方法能有效的處理。此方法主要是利

2、用跳躍條件將界面一側(cè)的網(wǎng)格點過渡到界面另一側(cè)，對格式進行修正，最終達到格式的預(yù)期精度。
　　本文利用有限差分方法，結(jié)合浸入界面方法的思想對極坐標系下帶有不連續(xù)波數(shù)的Helmholtz方程進行求解.首先，利用文獻中提出的用于求解波數(shù)連續(xù)情況下一維Helmholtz方程的四階緊致差分格式，結(jié)合浸入界面方法和Taylor級數(shù)展開，對波數(shù)是分段常數(shù)的一維Helmholtz方程進行處理。通過在已建立的格式上添加修正項，利用跳躍條件將界面附近

3、的網(wǎng)格點過渡到界面的另一側(cè)，由此確定修正項的系數(shù)，最終建立波數(shù)不連續(xù)時一維Helmholtz方程四階緊致差分格式.
　　其次，對于二維Helmholtz方程，波數(shù)連續(xù)時將其寫成兩個Laplacian算子的形式分別進行離散，將兩個算子的四階緊致差分格式聯(lián)合在一起就得到了二維Helmholtz方程的四階緊致差分格式.對于波數(shù)不連續(xù)的情況，和一維處理方法類似，利用跳躍條件將界面附近的網(wǎng)格點過渡到界面的另一側(cè)，由此確定修正項的系數(shù)，從而可