一類分數(shù)階偏微分方程的緊致差分格式及快速算法.pdf

1、本文主要研究內(nèi)容是:緊致差分方法在擬線性分數(shù)階可移動/不可移動的傳輸模型的應用[35]以及對于新定義分數(shù)階導數(shù)的快速算法的研究，其模型如下:{(e)u(x,t)/(e)t+(e)αu(x，t)/(e)tα=(e)2u(x，t)/(e)x2+f(u)+g(x，t)u(x，0)=φ(x)，0≤x≤L，(0.1)u(0，t)=u(L，t)=0，t≥0，其中，非線性項f(u)滿足下列條件[1]:A1:|f(u)|≤ C|u|，A2:f(u)關于

2、u連續(xù)且它的一階偏導數(shù)有界，也就是說，存在一個正數(shù)C使得|f'（u）|≤C成立。
　　上述模型中的分數(shù)階導數(shù)采用由Caputo和Fabrizia提出的新定義[19]。
　　定義0.1如果u(·，t)∈H1(a，b)，b＞a，α∈(0，1)，則新的Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為:D（α）tu(x，t)=M(α)/1-α∫tαu'(x，s)exp[-αt-s/1-α]ds.(0.2)其中M(α)是一個標準化函數(shù)，且M(0)=M(1

3、)=0.
　　對于上述定義進行分析發(fā)現(xiàn)，新定義是利用exp[-αt-s/1-α]去替代原先Caputo定義分數(shù)階導數(shù)中的核函數(shù)（t-s）-α，這樣可以有效地消除原先定義中的奇性。這種沒有奇性的分數(shù)階導數(shù)新定義在描述材料的異構性問題、波的多尺度問題上，與先前分數(shù)階定義相比有著自己的優(yōu)勢。
　　我們的目標是給出一種求解擬線性分數(shù)階傳輸模型的二階緊致差分格式以及快速算法。為了得到更高的數(shù)值精度，在時間分數(shù)階模型離散的同時，我們在空

4、間采用了緊致差分方法，并且對于該方法計算的穩(wěn)定性和誤差估計進行了相應的分析，使之在計算精度上得以大大提高，達到了O（()τ2+h4）。其次，我們在計算的過程中發(fā)現(xiàn)對分數(shù)階導數(shù)新定義有一種有效的快速算法，該快速算法不僅能夠節(jié)約時間成本還能減少儲存空間。
　　本文主要是針對上述分數(shù)階新定義下模型的算法研究和分析。全文共分為四章:
　　第一章:簡單介紹一下研究背景及主要研究模型，介紹國內(nèi)外相關文獻和研究意義。
　　第二章:給