復習一維隨機變量函數(shù)的分布

1、第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布,一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.,求截面面積 A= 的分布.,例如，已知圓軸截面直徑 D 的分布，,設隨機變量X 的分布已知，Y=g (X) (設g是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面進行討論.,這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.,二、離散型隨機變量函數(shù)的分布,解： 當 X 取值 1，2，5 時， Y

2、 取對應值 5，7，13，,例1,設r.v.X的分布律為,求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù).,而且X取某值與Y取其對應值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當并項即可.,一般，若X是離散型 r.v ，X的分布律為,則Y=g(X)的分布律為,如：,X的分布律為,則 Y=X2 的概率函數(shù)為：,即,Y的分布律為,三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,解：設Y的分布函數(shù)為 FY(y)，,FY

3、(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y ),=P( X ) = FX( ),于是Y 的密度函數(shù),1、一般方法,故,注意到 0 < x < 4 時，,即 8 < y < 16 時，,此時,Y=2X+8,求導可得,當 y>0 時,,注意到 Y=X2 0，故當 y 0時，,解： 設Y和X的分布函數(shù)分別為 和

4、 ，,若,則 Y=X2 的概率密度為：,從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y) 的過程中，關鍵的一步是設法從{ g(X) ≤ y }中解出X,從而得到與 {g(X) ≤ y }等價的X的不等式 .,用 代替{ X2 ≤ y },這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應的概率.,這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.,通常稱為分布函數(shù)法。,若X～f(x),

5、-?<x<+?,Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) ＝P(Y?y)＝P(g(X) ?y),然后再求Y的密度函數(shù),分布函數(shù)法的步驟：,下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度 .,2、公式法：,其中，,此定理的證明與前面的解題思路類似.,x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù),定理 設 X是一個取值于區(qū)間[a,b]，具有概率密度 f(x)的連續(xù)型r.v

6、,又設y=g(x)處處可導，且對于任意x, 恒有 或恒有 ，則Y=g(X)是一個連續(xù)型r.v，它的概率密度為,,,,如,注：1 只有當g(x)是x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。2 注意定義域的選擇,,,例４已知X?N(?,?2),求,解：,的概率密度。,關于x嚴單,反函數(shù)為,故,例5 設隨機變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,當 y 0時

7、,,當 y 1時,,故,解：注意到,,不合定理條件,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,解：當0<y<1時,,例5 設隨機變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,當0<y<1時,,解：,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,而,求導得:,或,對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X)

8、 的分布時，關鍵的一步是把事件 { g(X)≤ y } 轉化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用 X 的分布來求 P { g(X)≤ y }.,這一講我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布.,,,,練習１ 設隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)lnx<0,,故 y=-2lnx>0,,于是 y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù),由前述定理得,注意取絕對值,已知X在

9、(0,1)上服從均勻分布，,代入 的表達式中,得,即Y服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.,練習２ 設X～U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0),解: Y=ax+b關于x嚴單,反函數(shù)為,故,而,故,思考 已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴格單增的連續(xù)函數(shù), 證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.,又由于X的分布函數(shù)F是嚴格遞增的連續(xù)函數(shù), 其反函數(shù) F-1 存在且嚴格遞增.,證明: 設Y的分布