2.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,隨機(jī)變量的分布是對(duì)隨機(jī)變量的一種完整的描述，知道隨機(jī)變量的分布就全都知道隨機(jī)變量的所有特征。然后隨機(jī)變量的概率分布往往不容易求得的。 隨機(jī)變量的這些統(tǒng)計(jì)特征通常用數(shù)字表示的。這些用來描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)性的數(shù)字稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。其中最重要的是數(shù)學(xué)期望（均值）和方差二種。 §4.1 數(shù)學(xué)期望與方差

2、一.數(shù)學(xué)期望,隨機(jī)變量x及它所取的數(shù)和相應(yīng)頻率的乘積和,稱為x的平均數(shù)(屬于加權(quán)平均)也稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值. (一)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1 離散型隨機(jī)變量X 有概率函數(shù) P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,則稱這個(gè)級(jí)數(shù)為X 的數(shù)學(xué)期望,=,例1 甲在機(jī)床上生產(chǎn)某產(chǎn)品,若一等品能賺5元,二等品賺3元,次品虧2元.甲生產(chǎn)時(shí)

3、一等品、二等品及次品的概率為0.6,0.3,0.1.問生產(chǎn)每件產(chǎn)品平均能創(chuàng)造多少財(cái)富?分析: x -2 3 5 p 0.1 0.3 0.6,數(shù)學(xué)期望為3.7元.表示生產(chǎn)一件產(chǎn)品能創(chuàng)造3.7元,(二)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 有概率密度,若,絕對(duì)收斂,則

4、 稱為 的 數(shù)學(xué)期望,,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均數(shù).它是將隨機(jī)變量 x及它所取的數(shù)和相應(yīng)頻率的乘積和.,=,(1),,例2 計(jì)算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望,可見均勻分布的數(shù)學(xué)期望為區(qū)間的中值.,2.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)

5、)(1)若X是離散型隨機(jī)變量,它的分布律為P{X=xk}=pk. K=1,2,..若,(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,它的概率密度為f(x).,定理1表示:求E(Y)時(shí),不必知道Y的分布,而只要知道X的分布,,,,定理2 設(shè)Z是隨機(jī)變量X和Y的函數(shù),Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù)),那么Z也是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則,這里假設(shè)上式右邊的積分絕對(duì)收斂. 若(X,Y)為離散型隨機(jī)變量,其

6、分布律為P{X= , Y= }= ,i,j=1,2,... 則,,例3 已知X在[-a,a]上服從均勻分布,試求Y=X3-kX和Y2=(X3-kX)2的數(shù)學(xué)期望 解:由(8)式,得到,3. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(1) E(C)=C. (2) E( +C)=E +C,證明：對(duì)離散型隨機(jī)變量,對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量,,,（3）,證明：若C=0，則 是一個(gè)

7、常數(shù)0，由性質(zhì)1可知它成立。,,（4）,（5）兩個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué) 期望的和。 證明：設(shè) 是離散型隨機(jī)變量,這個(gè)性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè),推理：,（6）兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué) 期 望的乘積。,證明：因?yàn)?相互獨(dú)立，,,連續(xù)型隨機(jī)變量,分析:,因?yàn)?不獨(dú)立,只能用(3-6)式進(jìn)行計(jì)算.,9 10

8、 11p 0.3 0.5 0.2,6 7p 0.4 0.6,,,,,,,,,例7 儀器由二部分組成，其總長為二部分長度的和。,求,下面介紹幾個(gè)常用的公式,定義 如果隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 存在,稱 為隨機(jī) 變量 的離差,顯然 不論正偏差大或是負(fù)偏差大,同樣是離散程度大,用

9、 來 衡量 和 的偏差,定義3-4 隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望,稱為隨機(jī)變量的方差, 記 或 而 稱為 的標(biāo)準(zhǔn)差,,,(一) 方差的定義,若 是離散型隨機(jī)變量,且,若 是連續(xù)型隨機(jī)變量,有概率密度,隨機(jī)變量的方差是一個(gè)正數(shù), 當(dāng) 的可能值在它的期望值 附近,方差小,反之則大.方差表示隨機(jī)變量

10、的離散程度.,例8 甲乙兩個(gè)射手，射擊點(diǎn)和目標(biāo)的距離分別為 ，且分布律,80 85 90 95 100 85 87.5 90 92.5 95p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2,,,,,,,,,,,求,,甲,乙雙方的數(shù)

11、學(xué)期望相同,表示他們的準(zhǔn)確度相同.由于乙的方差小,表示乙射手比甲射手好,,(二) 方差的性質(zhì)1、常數(shù)的方差等于0證明：,2、隨機(jī)變量和常數(shù)之和的方差就等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差。證明：,3、常數(shù)和隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常數(shù)的平方和隨機(jī)變量方差的乘積。證明：,,4. 兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于兩個(gè)隨機(jī)變量方差的 和 證明：,若,獨(dú)立,,,,進(jìn)一步可得到：n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量算術(shù)平均數(shù)的方差等于

12、 其方差算術(shù)平均數(shù)的1/n倍。,5、任意隨機(jī)變量的方差等于這個(gè)隨機(jī)變量平方的期望和它期望的平方之差，即,證明：,這個(gè)公式用來簡化方差計(jì)算。且說明隨機(jī)變量平方的數(shù)學(xué)期望 大于期望的平方。,例9 計(jì)算在區(qū)間[a，b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量 的方差,,對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y),方差D(X,Y)=[D(X),D(Y)] (20) 當(dāng)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量時(shí),有,當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)

13、變量時(shí),有,§4.2 幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望及方差,（一）兩點(diǎn)分布,,,,,x 1 0,pk p 1-p,,（二）二項(xiàng)分布（具有獨(dú)立和‘是與否’二種結(jié)果的條件。 當(dāng)n=1時(shí)，它為兩點(diǎn)分布。）,,利用二點(diǎn)分布 也可推出二項(xiàng)分布的期 望及方差。,（3）泊松分布 π(λ),泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差都等于參數(shù)

14、λ.,（4）指數(shù)分布,其他,,（4-6）,f(x)=,（6）,分布,,其他,（4-7）,令,,,,（7） 正態(tài)分布,（7） 正態(tài)分布,,,,兩點(diǎn)分布 p p（1-p）二項(xiàng)分布 np npq 超幾何分布

15、 nN1/N普哇松分布指數(shù)分布 分布正態(tài)分布,,,,,,,,,,,,,,幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差：,§4.3 其他數(shù)字特征介紹另外一些數(shù)字特征,包括矩,協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).矩的概念(1). k階原點(diǎn)矩定義1 設(shè)X為隨機(jī)變量,如果αk=E(Xk),k=1,2,... (1)存在時(shí),稱αk為X的k階原點(diǎn)

16、矩,簡稱k階矩. 由定義1可知,X的k階原點(diǎn)矩就是Xk的數(shù)學(xué)期望,所以求原點(diǎn)矩的問題,就是求隨機(jī)變量的函數(shù)Y=Xk的數(shù)學(xué)期望.特別地,X的數(shù)學(xué)期望就是一階原點(diǎn)矩.,(2) k階中心矩定義2 設(shè)X為隨機(jī)變量,如果E(X)存在,那么,當(dāng) = ,k=1,2... (2)存在時(shí),稱 為X的k階中心矩. 顯然,

17、X的方差D(X)就是X的二階中心矩.(3) 混合矩定義3 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,如果 = ,k,L=1,2,... (3)存在,則稱 為二維隨機(jī)變量(X,Y)的k+L階混合(原點(diǎn))矩.,(4) 混合中心矩定義4 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,如果μkl=E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]L}k,L=1,2,.... (4)存在,則稱μkL為二維隨機(jī)

18、變量(X,Y)的k+L階混合中心矩.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),定義5 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,稱1+1階混合中心矩E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}而 稱為X與Y的相關(guān)系數(shù) 由協(xié)方差的定義可得Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E{XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)=E(XY)-E(

19、X)E(Y),協(xié)方差具有以下的性質(zhì).(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). a,b是常數(shù)(3)Cov( + ,Y)=Cov( ,Y)+Cov( , Y).,定理1 (1)若X與Y相互獨(dú)立,則ρxy=0; (2)| ρxy|≤1; (3)| ρxy|=1的充分必要條件是:存在常數(shù)a,

20、b使P{Y=aX+b}=1.即X與Y以概率為1線性相關(guān).,證明:(1) X與Y相互獨(dú)立,我們有E(XY)=E(X)E(Y), 因?yàn)镃ov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y- E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y) 所以Cov(X,Y)=0, 有ρxy的公式表示它為0.,(2)先證一個(gè)重要的不等式---柯西-許瓦茲不等式:若E(W2)及E(V2)存在,則[E(WV)]2≤E(W2)×E

21、(V2). (8)令g(t)=E[(tW-V)2]=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)顯然大于0的數(shù)學(xué)期望 必定大于0.因此對(duì)一切實(shí)數(shù)t,都有(tW-V)2≥0,所以g(t)≥0.這表示圖形在X軸上方.從而二次方程g(t)=0或者沒有實(shí)根,或者只有重根.,其判別式 △=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0 得到[E(WV)]2≤E(W2)

22、5;E(V2). →(8)式得到證明. 設(shè)W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么,,由(9)式知, |ρ xy|=1 等價(jià)于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W

23、)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11)由于數(shù)學(xué)期望為0,方差也為0,即(11)式成立的充分必要條件是 P{tW-V=0}=1,即(11)式成立的充分必要條件是 P{tW-V=0}=1這等價(jià)于 P{Y=aX+b}=1 其中a=t,b=E(Y)-tE(X)

24、W=X-E(X),V=Y-E(Y),tW-V=tX-tE(X)-Y+E(Y)=0 定理證畢. 定理1告訴我們,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),|ρxy|達(dá)到最小值0,當(dāng)ρxy=0時(shí)稱X和Y不相關(guān),當(dāng)X和Y線性相關(guān)時(shí),| ρxy|達(dá)到最大值1, 這說明ρxy在一定程度上表達(dá)了X和Y之間的線性相關(guān)程度,稱為相關(guān)系數(shù).,例2 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,其概率密度為,求X與Y的相關(guān)系數(shù). 解:我們已經(jīng)計(jì)算出(X,Y)的邊

25、緣概率密度,,所以E(X)=μ1,D(X)=σ12,E(Y)=μ2,D(Y)=σ22,而,令,切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量X 具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 。則任給正 數(shù)ε, 有,不等式(14)和(15)稱為切比雪夫不等式,它反映了均值與方差的意義,|X-E(X)|≥ξ即X取值不在E(X)附近的概率不超過.當(dāng)D(X)較小時(shí), D(x)/ξ2就較小,X取值集中在E(X)附近故E(X)是X取值的集

26、中點(diǎn).D(X)反映X在E(X)附近取值的個(gè)數(shù)是多還是少.,證明： X 是離散型隨機(jī)變量,證明完畢,,,切比雪夫不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下,估計(jì)事件{|X-μ|<ε}的概率的方法. 例如取ε=3σ,得所謂“3σ規(guī)則”: P{|X-μ|<3σ}≥0.8889,即事件|X-μ|<3σ的概率大約為0.9.特別是若X是正態(tài)隨機(jī)變量,可算得到 P{μ-3σ<X<μ+3σ