應(yīng)用統(tǒng)計-點(diǎn)估計方法

1、參數(shù)點(diǎn)估計　參數(shù)點(diǎn)估計是對參數(shù)取哪一個值作出估計．定義：設(shè)總體的分布已知，但其中含有未知參數(shù)?。梢允且粋€向量），點(diǎn)估計就是依據(jù)某種原理，根據(jù)樣本來構(gòu)造統(tǒng)計量　（可以是一個向量）作為　的估計量，記為,,,,,,,,,,,當(dāng)樣本取定一個觀察值時，估計量也有一個值，這個值稱為估計值，不同的抽樣，有不同的估計值，它與真值會有差異，這種差異除了抽樣帶來的誤差外，與估計量的形式有關(guān)．因此，選取統(tǒng)計量也是非常重要的．我們介紹兩種統(tǒng)計量的方法：矩

2、法與極大似然法,,,,,,,,,,,矩法估計假設(shè)樣本為簡單隨機(jī)樣本，則由大數(shù)定律，有,,,,,,,,,,,其中當(dāng)n比較大時,,,,,,,,,,,利用這種近似相等關(guān)系的思想，得到矩法估計的定義．定義：用樣本原點(diǎn)矩去代替總體相應(yīng)的原點(diǎn)矩得到的參數(shù)的估計量的方法稱為矩法，稱這種估計為矩法估計量．,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，其中a,b為未知參數(shù)，現(xiàn)從中抽取一個樣本觀察值（２,3,2,4,3),試用矩法估計a,b

3、的值．解：,,,,,,,,,,,先求估計量，由矩法得方程組由于,,,,,,,,,,,注意到解得：,,,,,,,,,,,我們計算得到這樣得到a,b的估計值是,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體Ｘ的分布密度為　其中　為未知參數(shù)，現(xiàn)從中抽取一個樣本，試求　的矩法估計量．解：,,,,,,,,,,,由于故令得到估計量通常我們是采用下面的方法,,,,,,,,,,,另解我們可認(rèn)為而由矩法，我們令

4、得到,,,,,,,,,,,極大似然估計極大似然估計是利用小概率原理作出估計的．小概率原理：一個概率非常小的一個事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的；也就是說，如果一個事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了，那么這個事件發(fā)生的概率不可能很小，而應(yīng)認(rèn)為其概率會盡可能地大．,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，現(xiàn)從中抽取一個樣本觀察值（500,300,600,400,700),試估計 的值．解：,,,,,,,,,,,這里，n是5，設(shè)　

5、　　　　　為樣本，在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生了，而,,,,,,,,,,,是參數(shù)　的函數(shù)，由小概率原理，這個概率不會太小，應(yīng)盡可能大，即求這個概率的最大值．利用求導(dǎo)可得到當(dāng)　　　　　　時，這個概率達(dá)到最大．因此，我們有理由認(rèn)為參數(shù)　為500.這就是極大似然估計．,,,,,,,,,,,一般地，當(dāng)總體為離散型總體，其分布中含有未知參數(shù)　　（可以是向量），　為一個樣本，　　　　　　　為一次觀察值，稱　為似然函數(shù)．,,,,,,,,,,,稱

6、對數(shù)似然函數(shù)．稱滿足的　為　極大似然估計值，記為,,,,,,,,,,,而稱為極大似然估計量．簡稱ＭＬ估計． 上例的一般情況是,,,,,,,,,,,例：設(shè)總體Ｘ服從參數(shù)為　的泊松分布，求的極大似然估計．,,,,,,,,,,,解：總體Ｘ的分布為　似然函數(shù)為,,,,,,,,,,,對數(shù)似然函數(shù)為　這兩個函數(shù)的極值點(diǎn)相同，對對數(shù)似然函數(shù)求導(dǎo)，并令其為０，得,,,,,,,,,,,得到從而極大似然估

7、計為,,,,,,,,,,,當(dāng)總體是連續(xù)型總體時,我們定義似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，試求 的極大似然估計.解：,,,,,,,,,,,解:似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為,,,,,,,,,,,對 求導(dǎo)并令其為0,得從而解得 的極大似估計,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，其中a,b為未知參數(shù)，試求a,b的極大似然估計．解：總體Ｘ的分布密度,,,,

8、,,,,,,,似然函數(shù)為此函數(shù)沒有極值,它在邊界上取得最大值.由于,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,注　若總體　　　　　，其中b為未知參數(shù)，則b的極大似然估計為 若總體　　　　　，其中a為未知參數(shù)，則a的極大似然估計為,,,,,,,,,,,極大似然估計的數(shù)值解 極大似然估計需要求似然方程(組)的解, 但在大多數(shù)情況下,似然方程的解往往沒有解析表達(dá)式.這時需要利用數(shù)值方法來求方