代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史及線(xiàn)性代數(shù)簡(jiǎn)史

1、代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史,代數(shù)學(xué)(algebra)是數(shù)學(xué)中最重要的分支之一。代數(shù)學(xué)的歷史悠久，它隨著人類(lèi)生活的提高，生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，科學(xué)和數(shù)學(xué)本身的需要而產(chǎn)生和發(fā)展。在這個(gè)過(guò)程中，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和研究方法發(fā)生了重大的變化。代數(shù)學(xué)可分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。初等代數(shù)學(xué)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展，而抽象代數(shù)學(xué)則是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。,代數(shù)學(xué)的西文名稱(chēng)algebra來(lái)源于9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的重要著作的名稱(chēng)。該著作名為

2、”ilm al-jabr wa’I muqabalah”，原意是“還原與對(duì)消的科學(xué)”。這本書(shū)傳到歐洲后，簡(jiǎn)譯為algebra。清初曾傳入中國(guó)兩卷無(wú)作者的代數(shù)書(shū)，被譯為《阿爾熱巴拉新法》后改譯為《代數(shù)學(xué)》(李善蘭譯，1853)。,,初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質(zhì)等。 代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別是什么？,四大文明古國(guó)中，除古代希臘外，

3、都曾對(duì)算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展做出非常杰出的貢獻(xiàn)。從中世紀(jì)的歐洲一直到19世紀(jì)上半期，代數(shù)學(xué)在歐洲得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。19世紀(jì)，代數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變革。,一系列新的代數(shù)領(lǐng)域被建立起來(lái)，大大地?cái)U(kuò)充了代數(shù)學(xué)的研究范圍，形成了所謂的近世代數(shù)學(xué)。包括抽象代數(shù)和線(xiàn)性代數(shù)。 抽象代數(shù)學(xué)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為其中心問(wèn)題的。,由于代數(shù)結(jié)構(gòu)及其中元素的一般性，近世代數(shù)學(xué)的

4、研究在數(shù)學(xué)中是最具有基本性的，它的方法和結(jié)果滲透到那些與它相接近的各個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學(xué)領(lǐng)域――代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)浯鷶?shù)、李氏代數(shù)、代數(shù)拓?fù)洹⒎汉治龅?，這樣，近世代數(shù)學(xué)就對(duì)于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有著顯著的影響，并且對(duì)于其它一些科學(xué)領(lǐng)域如理論物理、計(jì)算機(jī)原理等也有較直接的應(yīng)用。,代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史,--------線(xiàn)性代數(shù),線(xiàn)性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線(xiàn)性變換理論的一門(mén)學(xué)科。主要研究

5、對(duì)象有行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣、線(xiàn)性空間等。 　　主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線(xiàn)性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見(jiàn)于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》）。,1、學(xué)科概述,《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”,《九章算術(shù)》中的“方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專(zhuān)門(mén)論著。它在世界數(shù)學(xué)歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。 《九章算術(shù)》把這些線(xiàn)性方程組的解法稱(chēng)為“方程術(shù)”，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于

6、現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過(guò)對(duì)方程的系數(shù)矩陣實(shí)施遍乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實(shí)現(xiàn)減元、獲取方程解的過(guò)程。,1、學(xué)科概述,在“方程章”問(wèn)題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)： 如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個(gè)不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。 劉徽：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者

7、再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！?。 其中“課”為比較的意思，而“程”則為表達(dá)的意思。可見(jiàn)，按照“方程”的原義可以把它理解為“方形表達(dá)式”，與現(xiàn)在的“增廣矩陣”類(lèi)似。,1、學(xué)科概述,線(xiàn)性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位； 在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線(xiàn)性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的

8、一部分； 隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線(xiàn)性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線(xiàn)性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線(xiàn)性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。,1、學(xué)科概述,歷史上線(xiàn)性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線(xiàn)性方程組的問(wèn)題，而線(xiàn)性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線(xiàn)性代數(shù)教材的主要部分。 最初的

9、線(xiàn)性方程組問(wèn)題大都是來(lái)源于生活實(shí)踐，正是實(shí)際問(wèn)題刺激了線(xiàn)性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線(xiàn)性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。,1、學(xué)科概述,行列式出現(xiàn)于線(xiàn)性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。 行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693 年 4 月，萊布尼茨在寫(xiě)給洛必達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時(shí)代

10、的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。,2、矩陣和行列式,1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《線(xiàn)性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱(chēng)的解線(xiàn)性方程組的克萊姆法則。 稍后，數(shù)學(xué)家貝祖 (E.Bezout,1730-1783) 將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了

11、如何判斷一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組有非零解。,2、矩陣和行列式,在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線(xiàn)性方程組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。 范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂(lè)，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來(lái)終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，他是這門(mén)理論的奠

12、基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法。,2、矩陣和行列式,繼范德蒙之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在行列式理論方面做出了突出貢獻(xiàn)。 1815 年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。 其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語(yǔ)；給出了相似行列式概念；改進(jìn)了拉普

13、拉斯的行列式展開(kāi)定理并給出了一個(gè)證明。,2、矩陣和行列式,19 世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，詹姆士.西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1897)對(duì)行列式理論研究始終不渝。他的重要成就之一是改進(jìn)了從一個(gè)m 次和一個(gè)n 次的多項(xiàng)式中消去 x 的方法，他稱(chēng)之為配析法，并給出形成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒(méi)有給出證明。,2、矩陣和行列式,西爾維斯特（James Joseph Sylvester，公元18

14、14年9月3日─公元1897年3月15日）是英國(guó)數(shù)學(xué)家。生于倫敦，卒于牛津。 西爾維斯特的貢獻(xiàn)主要在代數(shù)學(xué)方面。他同凱萊一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)，他在數(shù)論方面也做出了突出的工作，特別是在整數(shù)分拆和丟番圖分析方面。他創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞，當(dāng)代數(shù)學(xué)中常用到的術(shù)語(yǔ)，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生發(fā)表了幾百篇論文，著有《橢圓函數(shù)專(zhuān)論》一書(shū)。西爾維斯特是《美

15、國(guó)數(shù)學(xué)雜志》的創(chuàng)始人，為發(fā)展美國(guó)數(shù)學(xué)研究做出了貢獻(xiàn)。曾獲得英國(guó)皇家勛章、科普利獎(jiǎng)?wù)?，以及都柏林、?ài)丁堡、牛津、劍橋等大學(xué)授予的名譽(yù)學(xué)位。,2、矩陣和行列式,繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。 雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列

16、式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線(xiàn)性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在 19 世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個(gè) 19 世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到。,2、矩陣和行列式,矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具。 “矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語(yǔ)

17、。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來(lái)，為了很多目的，不管行列式的值是否與問(wèn)題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來(lái)的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。,2、矩陣和行列式,英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái)，并首先發(fā)表

18、了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。 凱萊同研究線(xiàn)性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)。 1858 年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。,2、矩陣和行列式,英國(guó)數(shù)學(xué)家 。英國(guó)

19、純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人?！　P萊最主要的貢獻(xiàn)是與J.J.西爾維斯特一起 ，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對(duì)幾何學(xué)的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻(xiàn)。凱萊在勸說(shuō)劍橋大學(xué)接受女學(xué)生中起了很大的作用。他曾任劍橋哲學(xué)會(huì)、倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、皇家天文學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。,2、矩陣和行列式,凱萊（1821～1895）　　Cayley，Arthur,1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 證明了

20、別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類(lèi)的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱(chēng)為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來(lái) ，克萊伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等證明了對(duì)稱(chēng)矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯 (H.Taber) 引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。,2、矩陣和行列式,在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。 他討論了

21、最小多項(xiàng)式問(wèn)題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。 1854 年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫(xiě)成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問(wèn)題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開(kāi)始的。,2、

22、矩陣和行列式,矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴(lài)于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門(mén)數(shù)學(xué)分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域。,2、矩陣和行列式,線(xiàn)性方程組的解法，早在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù) 》方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方

23、法，即高斯消元法。 在西方，線(xiàn)性方程組的研究是在 17 世紀(jì)后期由萊布尼茨開(kāi)創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線(xiàn)性方程組組成的方程組。麥克勞林在 18 世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組，得到了現(xiàn)在稱(chēng)為克萊姆法則的結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個(gè)法則。 18世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線(xiàn)性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了 n元齊次線(xiàn)性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。,3

24、、線(xiàn)性方程組,19 世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 繼續(xù)研究線(xiàn)性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了 個(gè)未知數(shù) 個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。 大量的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，最終往往歸結(jié)為解線(xiàn)性方程組。因此在線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)等

25、理論性工作也取得了令人滿(mǎn)意的進(jìn)展。現(xiàn)在，線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。,3、線(xiàn)性方程組,二次型也稱(chēng)為“二次形式”，數(shù)域 P上的n 元二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為數(shù)域 上的 n元二次型。 二次型的系統(tǒng)研究是從 18 世紀(jì)開(kāi)始的，它起源于對(duì)二次曲線(xiàn)和二次曲面的分類(lèi)問(wèn)題的討論。將二次曲線(xiàn)和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀，這個(gè)問(wèn)題是在 18 世紀(jì)引進(jìn)的。 柯西在其著作中給出

26、結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，二次曲面用二次項(xiàng)的符號(hào)來(lái)進(jìn)行分類(lèi)。然而，那時(shí)并不太清楚，在化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，為何總是得到同樣數(shù)目的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)。 西爾維斯特回答了這個(gè)問(wèn)題，他給出了 個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒(méi)有證明。這個(gè)定律后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。 1801 年，高斯在《算術(shù)研究》中引進(jìn)了二次型的正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定等術(shù)語(yǔ)。,4、二次型,二次型化簡(jiǎn)的進(jìn)一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)

27、在歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線(xiàn)性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個(gè)概念。而三個(gè)變數(shù)的二次型的特征值的實(shí)性則是由阿歇特 (J-N.P.Hachette) 、蒙日和泊松 (S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。      柯西在別人著作的基礎(chǔ)上，著手研究化簡(jiǎn)變數(shù)的二次型問(wèn)題，并證明了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變換下不變性。后來(lái)，他又證明了 個(gè)變數(shù)的兩個(gè)二次型能用同一個(gè)

28、線(xiàn)性變換同時(shí)化成平方和。,4、二次型,1851 年，西爾維斯特在研究二次曲線(xiàn)和二次曲面的切觸和相交時(shí)需要考慮這種二次曲線(xiàn)和二次曲面束的分類(lèi)。在他的分類(lèi)方法中他引進(jìn)了初等因子和不變因子的概念，但他沒(méi)有證明“不變因子組成兩個(gè)二次型的不變量的完全集”這一結(jié)論。      1858 年，魏爾斯特拉斯對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一個(gè)一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征