代數(shù)學發(fā)展簡史及線性代數(shù)簡史

1、代數(shù)學發(fā)展簡史,代數(shù)學(algebra)是數(shù)學中最重要的分支之一。代數(shù)學的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產(chǎn)技術的進步，科學和數(shù)學本身的需要而產(chǎn)生和發(fā)展。在這個過程中，代數(shù)學的研究對象和研究方法發(fā)生了重大的變化。代數(shù)學可分為初等代數(shù)學和抽象代數(shù)學兩部分。初等代數(shù)學是更古老的算術的推廣和發(fā)展，而抽象代數(shù)學則是在初等代數(shù)學的基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。,代數(shù)學的西文名稱algebra來源于9世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為

2、”ilm al-jabr wa’I muqabalah”，原意是“還原與對消的科學”。這本書傳到歐洲后，簡譯為algebra。清初曾傳入中國兩卷無作者的代數(shù)書，被譯為《阿爾熱巴拉新法》后改譯為《代數(shù)學》(李善蘭譯，1853)。,,初等代數(shù)學是指19世紀上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質(zhì)等。 代數(shù)與算術的區(qū)別是什么？,四大文明古國中，除古代希臘外，

3、都曾對算術和代數(shù)的發(fā)展做出非常杰出的貢獻。從中世紀的歐洲一直到19世紀上半期，代數(shù)學在歐洲得到了長足的發(fā)展。19世紀，代數(shù)學發(fā)生了革命性的變革。,一系列新的代數(shù)領域被建立起來，大大地擴充了代數(shù)學的研究范圍，形成了所謂的近世代數(shù)學。包括抽象代數(shù)和線性代數(shù)。 抽象代數(shù)學是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運算的規(guī)律和由這些運算適合的公理而定義的各種代數(shù)結構的性質(zhì)為其中心問題的。,由于代數(shù)結構及其中元素的一般性，近世代數(shù)學的

4、研究在數(shù)學中是最具有基本性的，它的方法和結果滲透到那些與它相接近的各個不同的數(shù)學分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學領域――代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓撲代數(shù)、李氏代數(shù)、代數(shù)拓撲、泛函分析等，這樣，近世代數(shù)學就對于全部現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展有著顯著的影響，并且對于其它一些科學領域如理論物理、計算機原理等也有較直接的應用。,代數(shù)學發(fā)展簡史,--------線性代數(shù),線性代數(shù)是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科。主要研究

5、對象有行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等。 　　主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學名著《九章算術》）。,1、學科概述,《九章算術》的“方程術”,《九章算術》中的“方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門論著。它在世界數(shù)學歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。 《九章算術》把這些線性方程組的解法稱為“方程術”，其實質(zhì)相當于

6、現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術是通過對方程的系數(shù)矩陣實施遍乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實現(xiàn)減元、獲取方程解的過程。,1、學科概述,在“方程章”問題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)： 如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。 劉徽：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率，二物者

7、再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。”。 其中“課”為比較的意思，而“程”則為表達的意思?？梢?，按照“方程”的原義可以把它理解為“方形表達式”，與現(xiàn)在的“增廣矩陣”類似。,1、學科概述,線性代數(shù)在數(shù)學、力學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位； 在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現(xiàn)實等技術無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎的

8、一部分； 隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。,1、學科概述,歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。 最初的

9、線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數(shù)這一學科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學分析與幾何學等數(shù)學分支的要求也促使了線性代數(shù)的進一步發(fā)展。,1、學科概述,行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學中一種非常有用的工具。 行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學家關孝和發(fā)明的。1693 年 4 月，萊布尼茨在寫給洛必達的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時代

10、的日本數(shù)學家關孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。,2、矩陣和行列式,1750 年，瑞士數(shù)學家克萊姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《線性代數(shù)分析導引》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。 稍后，數(shù)學家貝祖 (E.Bezout,1730-1783) 將確定行列式每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了

11、如何判斷一個齊次線性方程組有非零解。,2、矩陣和行列式,在行列式的發(fā)展史上，第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數(shù)學家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。 范德蒙自幼在父親的指導下學習音樂，但對數(shù)學有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠

12、基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法。,2、矩陣和行列式,繼范德蒙之后，法國數(shù)學家柯西在行列式理論方面做出了突出貢獻。 1815 年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。 其中主要結果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標記法；引進了行列式特征方程的術語；給出了相似行列式概念；改進了拉普

13、拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明。,2、矩陣和行列式,19 世紀的半個多世紀中，詹姆士.西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1897)對行列式理論研究始終不渝。他的重要成就之一是改進了從一個m 次和一個n 次的多項式中消去 x 的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時這兩個多項式方程有公共根充分必要條件這一結果，但沒有給出證明。,2、矩陣和行列式,西爾維斯特（James Joseph Sylvester，公元18

14、14年9月3日─公元1897年3月15日）是英國數(shù)學家。生于倫敦，卒于牛津。 西爾維斯特的貢獻主要在代數(shù)學方面。他同凱萊一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關于代數(shù)不變量的理論基礎，他在數(shù)論方面也做出了突出的工作，特別是在整數(shù)分拆和丟番圖分析方面。他創(chuàng)造了許多數(shù)學名詞，當代數(shù)學中常用到的術語，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生發(fā)表了幾百篇論文，著有《橢圓函數(shù)專論》一書。西爾維斯特是《美

15、國數(shù)學雜志》的創(chuàng)始人，為發(fā)展美國數(shù)學研究做出了貢獻。曾獲得英國皇家勛章、科普利獎章，以及都柏林、愛丁堡、牛津、劍橋等大學授予的名譽學位。,2、矩陣和行列式,繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引進了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導數(shù)公式。 雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標志著行列

16、式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學分析、幾何學、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應用，促使行列式理論自身在 19 世紀也得到了很大發(fā)展。整個 19 世紀都有行列式的新結果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關特殊行列式的其他定理都相繼得到。,2、矩陣和行列式,矩陣是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究和應用的一個重要工具。 “矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個術語

17、。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。,2、矩陣和行列式,英國數(shù)學家凱萊 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念提出來，并首先發(fā)表

18、了關于這個題目的一系列文章。 凱萊同研究線性變換下的不變量相結合，首先引進矩陣以簡化記號。 1858 年，他發(fā)表了關于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報告》，系統(tǒng)地闡述了關于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關矩陣的一些基本結果。,2、矩陣和行列式,英國數(shù)學家 。英國

19、純粹數(shù)學的近代學派帶頭人?！　P萊最主要的貢獻是與J.J.西爾維斯特一起 ，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關于代數(shù)不變量理論的基礎。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對幾何學的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻。凱萊在勸說劍橋大學接受女學生中起了很大的作用。他曾任劍橋哲學會、倫敦數(shù)學會、皇家天文學會的會長。,2、矩陣和行列式,凱萊（1821～1895）　　Cayley，Arthur,1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 證明了

20、別的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來 ，克萊伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆 (A.Buchheim) 等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯 (H.Taber) 引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關的結論。,2、矩陣和行列式,在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻是不可磨滅的。 他討論了

21、最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。 1854 年，約當研究了矩陣化為標準型的問題。 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引進了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的。,2、

22、矩陣和行列式,矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應用于現(xiàn)代科技的各個領域。,2、矩陣和行列式,線性方程組的解法，早在中國古代的數(shù)學著作《九章算術 》方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實質(zhì)上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方

23、法，即高斯消元法。 在西方，線性方程組的研究是在 17 世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在 18 世紀上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的結果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個法則。 18世紀下半葉，法國數(shù)學家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了 n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。,3

24、、線性方程組,19 世紀，英國數(shù)學家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了 個未知數(shù) 個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結果之一。 大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時，線性方程組解的結構等

25、理論性工作也取得了令人滿意的進展。現(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計算數(shù)學中占有重要地位。,3、線性方程組,二次型也稱為“二次形式”，數(shù)域 P上的n 元二次齊次多項式稱為數(shù)域 上的 n元二次型。 二次型的系統(tǒng)研究是從 18 世紀開始的，它起源于對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在 18 世紀引進的。 柯西在其著作中給出

26、結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數(shù)目的正項和負項。 西爾維斯特回答了這個問題，他給出了 個變數(shù)的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。 1801 年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。,4、二次型,二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)

27、在歐拉的著作中，拉格朗日在其關于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數(shù)的二次型的特征值的實性則是由阿歇特 (J-N.P.Hachette) 、蒙日和泊松 (S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。      柯西在別人著作的基礎上，著手研究化簡變數(shù)的二次型問題，并證明了特征方程在直角坐標系的任何變換下不變性。后來，他又證明了 個變數(shù)的兩個二次型能用同一個

28、線性變換同時化成平方和。,4、二次型,1851 年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個二次型的不變量的完全集”這一結論。      1858 年，魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征